Défi de la semaine : le problème du mois
Quelle est la plus petite valeur entière de \(n\) telle que le nombre \[2^{2024}+2^n+1\] soit un carré parfait ?
Solution du 5e défi de mars 2024
La réponse est \(3300\) km.
Soit \(d\) la distance entre \(A\) et \(B\). On a alors
\[
\frac{d}{275}=\frac{d}{660}+7.
\]
D’où
\[
\begin{eqnarray*}
\frac{660d}{275}-d &=& 660\times 7\\
\frac{385d}{275} &=&4620\\
\frac{7d}{5} &=& 4620\\
d &=& \frac{5\times 4620}{7}= 3300\,\mathrm{km}.
\end{eqnarray*}
\]
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
9h00
X , nombre entier, est la somme de 2 entiers a et b.
2²⁰²⁴+2^n+1=(a+b)²=a²+b²+2ab
(2²⁰¹²)²+1²+2^n=a²+b²+2ab
Soit 2^n=2ab
avec a=2²⁰¹² et b=1
Donc 2^n=2²⁰¹²
n=2012
9h51
Erreur
(2¹⁰¹²)²+1²+2^n=a²+b²+2ab
Soit 2^n=2ab
avec 2a=2¹⁰¹² et b=1
Donc 2^n=2¹⁰¹²/2=2¹⁰¹¹
n=1011
10h18
\(a = 2^{1012}\), donc \(2^n=2 \times 2^{1012} \times 1\) et \(n=1013\)
10h00
Notons \(p\) l’entier tel que \(p^2 = 2^{2024 }+ 2^n +1\).
il est évident que \(p^2 > 2^{2024}\) alors \(p > 2^{1012}\).
Le plus petit \(p\) satisfaisant l’inégalité est \(2^{1012} + 1\). Prenons \(p = 2^{1012} + 1\) et calculons son carré pour voir s’il a la forme de sa définition.
\[p^2 = 2^{2 \times 1012} + 2\times 2^{1012} +1= 2^{2024} + 2^{1013} +1\]
Oui, la définition du \(p\) est respectée et on a \(n = 1013\)
10h47
Décidément, j’ai du mal :
2ab=(2^n)x1
b=1
2a=2^n=2(2^(n-1))
a=2^(n-1)=2¹⁰¹²
n-1=1012
n=1013