Défi de la semaine
Le nombre \(A\) est le plus petit entier positif non nul tel que \(10×A\) est un carré parfait et \(4×A\) est un cube parfait. Que vaut \(A\) ?
Solution du 2e défi d'avril 2024
La réponse est \(90\).
On a \({4 \choose 2} =6\) manières de colorier deux cases en noir dans la première ligne.
Séparons alors les cas
1. Les cases que noires dans la deuxième ligne se trouvent dans les mêmes colonnes que celles de la première ligne. Dans ce cas, une fois choisies les cases noires de la première ligne, celles de la deuxième sont fixées et il ne reste qu’une possibilité pour les cases noires des deux dernières lignes.
Par exemple :
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2. Les cases noires de la deuxième ligne se trouvent toutes les deux dans des colonnes différentes de celles de la première ligne. Dans ce cas, une fois choisies les cases noires de la première ligne, il n’y a qu’une manière de colorier les cases noires de la deuxième ligne. Il reste ensuite \({4\choose 2}=6\) manières de choisir les cases noires de la troisième ligne, et les cases noires de la quatrième ligne sont alors déj\`a déterminées.
Par exemple :
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3. Exactement une case noire de la deuxième ligne se trouve dans la m\^eme colonne qu’une case noire de la première. Dans ce cas, on a deux possibilités pour le choix de la colonne qui sera commune avec une case noire de la première ligne, puis deux possibilités pour colorier la case noire qui sera dans une colonne distincte. Il y a donc quatre manières de colorier la deuxième ligne. Quel que soit le choix de coloriage de ces deux premières lignes, il y a ensuite deux manières de colorier la troisième, puis la quatrième se trouvera déterminée. Finalement, dans ce cas, il y aura \(4\times 2=8\) manières de faire.
Par exemple :
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Comme, dans chaque cas, il y a \(6\) manières de choisir les cases noires de la première ligne, on dénombre au final \(6\times(1+6+8)=90\) manières de faire.
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
8h32
J’écris \(10A=B^2\) et \(4A=C^3\)
\(10\times A\) est un carré, il faut que \(A\) soit multiple de 10 :
J’écris \(A=10 a\) et \(10 A=B^2\) devient \(a=b^2\), \(b=B/10\)
Et donc \(40a=5\times 2^3 a=C^3\), soit \(5a=(C/2)^3\)
\(a\) doit être multiple de 25
Premier choix, \(a=25, A=250\) : \(10A=(50)^2\), \(4A=10^3\)
9h04
Posons 10a=x²
4a=y³
Soit en divisant (1) pa(2) : 10/4=x²/y³
x=y√(5y/2)
x est un entier donc 5y/2 est un carré parfait.
La plus petite valeur de y est 10 tel que :
x=10√(50/2)=50
a=50²/10=250
10h41
\(10\times A\) est un carré parfait donc il existe un entier \(n\) tel que \(n^2=10\times A\)
D’après le lemme d’euclide, puisque \(2\) et \(5\) divisent \(n^2\), \(2\) et \(5\) divisent \(n\).
Il existe donc un entier \(k\) tel que \( \hspace{0.5cm}n=10k\),\( \hspace{0.5cm} n^2=100k^2\),\( \hspace{0.5cm} 10\times A=100k^2 \hspace{0.5cm}\) et\( \hspace{0.5cm}A=10k^2\)
De plus \(4\times A=40k^2=2^3\times5k^2\) est un cube parfait donc \(5k^2\) est un cube parfait. Le plus petit entier \(k\) vérifiant cette propriété est \(5\) donc l’entier recherché est \(A=10k^2=250\)
10h46
\(\sqrt{10.A}\) est un entier donc nécessairement \(A=10.p^2\).
\(\sqrt[3]{2^2.A}\) est un entier donc nécessairement \(A=2.q^3\).
\(A=A\) donc \(10.p^2=2.q^3\) ou \(5.p^2=q^3\).
Alors \(p=5\) et \(q=5\) ce qui donne \(A=250\).
Je ferai la généralisation lorsque les petits-enfants dormiront pendant la sieste 😉 !
10h59
Ouh la : moins simple que ce que cela me semblait.
La plus petite valeur possible de \(q\) est \(5\) et il faudra toujours des \(5\) dans \(q\).
La prochaine plus petite valeur de \(q\) est \(10=5.2\) mais non car alors il y aurait un \(2^3\) à faire fabriquer par \(p^2\).
J’estime donc que la prochaine plus petite valeur de \(q\) permise est \(20=5.2^2\) car alors on a un \(2^6\) qui apparait que je peux fabriquer avec \(p^2\) en glissant astucieusement un \(2^3\) dans \(p\) qui donnera alors le \(2^6\).
Donc, \(q=20\) et \(p=5.2^3=40\). qui donne \(A=16000\).
Pas plus petit ?
Vraiment ?