Défi de la semaine
Combien vaut
\(2024^2\,-\,2023^2\)
\(+ \,2022^2\,-\,2021^2\)
\( +\,\ldots\)
\(+\, 4^2\,-\,3^2\)
\(+\, 2^2\,-\,1^2 \, ?\)
Solution du 3e défi d'avril 2024
La réponse est 250.
Comme \(10\times A\) est un carré parfait, on peut écrire que \(10A=x^2\) pour un certain entier \(x\), donc \(10\) divise \(x^2\). Comme la décomposition en facteurs premiers de \(10\) est \(2\times 5\), on en déduit que \(10\) divise \(x\). En effet, les mêmes nombres premiers apparaissent dans les décompositions en facteurs premiers de \(x\) et de \(x^2\), donc en particulier \(2\) et \(5\) sont des facteurs premiers dans ces décompositions et leurs exposants dans la décomposition de \(x^2\) sont forcément pairs. Ainsi, il existe un entier \(y\) tel que \(x=10y\) et on a alors \(10A=(10y)^2\), soit \(A=10y^2\).
Ensuite, comme \(4\times A\) est un cube parfait, il existe un entier \(m\) tel que \(4A=m^3\). Alors \(4\) divise \(m^3\) et, par un raisonnement analogue au précédent, \(2\) divise \(m\). Donc il existe un entier \(n\) tel que \(m=2n\) et ainsi, \(4A=(2n)^3\), soit \(A=2n^3\).
On a donc \(A=2n^3=10y^2\), d’où \(n^3=5y^2\) et le plus petit entier \(y\) vérifiant cette égalité est \(y=5\), avec \(n=5\) également.
On obtient alors la valeur entière de \(A\) positive non nulle la plus petite possible : \(A=250\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
8h34
\(2024^2-2023^2=(2024-2023).(2024+2023)=4047\)
\(2022^2-2021^2=4043\)
\(4047=4048-1\) et \(4043=4044-1\)
\(4048=4.1012\) et \(4044=4*1011\)
Ainsi, la somme proposée vaut \(4.(1012+1011+…+1)+(-1).1012\) ou \(4.(1013).(1012)/2-1012\) ou \(1012.(2.1013-1)\) et donc \(2^2.3^4.5^2.11.23=2049300\).
8h39
\(\sum_{k=1}^n (2k)^2 – (2k-1)^2 = 4\sum_{k=1}^n k – \sum_{k=1}^n 1 = 2n(n+1)-n = n(2n+1)\).
Ici \(n = 1012\) donc la somme vaut \(1012.2025 = 2 049 300\).
8h47
En appliquant une identité remarquable, on obtient :
S=1(2024+2023)+1(2022+2021)+…1(2+1)
S=2024+2023+2022+…2+1
S=somme de n entiers consécutifs =(2024(2024+1))/2=2049300
10h13
Ah mais oui !
Directement !
Très joli !
si simple
11h31
Considérons la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}^\ast\) par \(u_n=(2n)^2-(2n-1)^2\).
Alors, pour tout \(n\geq1\), \(u_n=4n-1\). Cette suite est arithmétique de premier terme \(3\) et de raison \(4\) et le résultat recherché est la somme des \(1012\) premiers termes : \(\frac{1012\times(3+4047)}{2}=2\,049\,300\)