Bandes d’escargots

Le dernier numéro ⁵Numéro 97, du premier semestre 2012. de « La Hulotte » est approprié à une saison estivale pluvieuse : il est consacré à l’Escargot des Haies. Page 1 on en trouve une belle assemblée ⁶Tous les textes et dessins de la revue sont réalisés par Pierre Déom., contenant néanmoins un intrus, un Escargot des Jardins. Saurez-vous le trouver ? La réponse se trouve dans cette note ⁷Les escargots des haies ont le bord de l’ouverture foncé, par opposition à ceux des jardins, qui l’ont clair..

À part le subtil détail permettant de les différencier, les deux espèces ont des coquilles très ressemblantes. Celles-ci sont décorées de bandes en colimaçon, avec une grande richesse de motifs. J’ai appris dans « La Hulotte » que les spécialistes ont diverses manières de les répertorier, permettant de trouver entre 32 et 300 motifs différents. Par exemple, à la page 7 on trouve le diagramme suivant :

De quoi s’agit-il ? On pose la coquille devant soi, ouverture vers le bas, et l’on contemple l’un des étages de la petite tour de Babel. Il est parcouru de bandes sombres, et il peut y en avoir au plus cinq. Une ou plusieurs de ces bandes peuvent être absentes, mais alors leur emplacement reste vide. Par ailleurs, deux ou plusieurs bandes adjacentes peuvent aussi se rejoindre, et former une bande plus épaisse. Ces deux phénomènes, visibles dans le premier dessin, sont illustrés schématiquement dans le deuxième.

Ce schéma m’a suggéré quelques questions. Je les propose au lecteur qui aurait à occuper de pluvieuses journées de vacances. Peut-être regardera-t-il ensuite avec plus d’intérêt ces gastéropodes ⁸À l’attention de ceux qui auraient l’idée de partir à la recherche de tels escargots je précise, dixit « La Hulotte », qu’il existe des individus dont la coquille s’enroule dans le sens opposé à celui illustré ici. Leur rareté en fait une sorte de porte-bonheur gastéropode..

1. Démontrer que le schéma est complet : aucun motif de rayure formé en respectant les règles expliquées précédemment n’est absent.
2. Considérons un graphe abstrait dont les sommets représentent les motifs possibles. Deux sommets sont reliés par une arête lorsque l’on peut passer d’un motif à l’autre soit en rajoutant une bande, soit en joignant deux bandes adjacentes. Ceci permet de définir une distance entre les motifs : c’est le nombre minimal d’arêtes que l’on doit parcourir pour aller de l’un à l’autre. Quel est le diamètre du graphe ? Par combien de couples de motifs ce diamètre est-il réalisé ?
3. Quels sont les nombres maximaux et minimaux de voisins des sommets ?
4. Peut-on trouver un chemin formé d’arêtes, revenant au point de départ, et passant une seule fois par chaque sommet ? Même question pour un chemin contenant une seule fois chaque arête.
5. Pour chaque entier naturel \(n\), on considère le nombre \(M_n\) de motifs analogues ayant \(n\) emplacements de bandes. Trouver une relation de récurrence entre ces nombres et, si possible, une formule close pour \(M_n\).
6. S’il y a un biologiste dans la salle, a-t-on une idée de la manière dont ces motifs sont codés génétiquement ? Dans « La Hulotte » on apprend que leurs distributions statistiques sont très variées.

Bon été de réflexion en bandes !