Billards

Billard de Sinai

En 1963, Yakov Sinai introduisit des billards dispersifs, inspirés du gaz de Lorentz, pour lesquels il réussit à démontrer qu’ils avaient de bonnes propriétés chaotiques (plus précisément, ils sont ergodiques et presque toute trajectoire a un exposant de Lyapunov positif). Dans cette simulation, des particules sans interaction sont réfléchies de manière élastique sur un disque. On a mis ce qu’on appelle des conditions aux bords périodiques sur le rectangle de la simulation : une particule atteignant le bord supérieur réapparaît sur le bord inférieur et inversement. Les bords gauche et droit sont identifiés de manière similaire. On comprend d’où proviennent les propriétés chaotiques de ce billard: deux particules se propageant dans des directions proches avant d’être réfléchies sur le disque prennent, après réflexion, des directions moins proches. Ce phénomène se répète et s’amplifie au cours des réflexions, ce qui conduit les particules à se propager dans toujours plus de directions différentes.

Particules dans une ellipse

Un ensemble de particules sans interaction part du bord d’une ellipse, de points voisins et avec des vitesses voisines. À chaque fois qu’une particule rencontre le bord de l’ellipse, elle est réfléchie élastiquement. On a affiché les trajectoires des particules, mais en les estompant au cours du temps. Cela permet de vérifier à l’oeil nu que les trajectoires sont bien des segments de droites, alors que le « front » des particules se met à onduler. Cette simulation illustre une propriété importante des ellipses: une particule passant initialement entre les foyers de l’ellipse, marqués par des petits cercles, passera une infinité de fois entre les foyers, sans jamais en faire le tour. De manière analogue, une particule passant initialement à l’extérieur du segment reliant les deux foyers fera toujours le tour de ce segment, sans jamais le couper.

Front d'ondes dans un triangle

Le billard dans cette simulation a la forme d’un triangle rectangle, d’angles 90, 60 et 30 degrés. Un « front d’onde », constitué d’un grand nombre de particules sans interaction, est émis d’un point choisi au hasard dans le triangle. Les particules font des réflexions élastiques sur les bords du triangle. On peut remarquer que le front reste continu (d’un seul tenant), alors que sa longueur ne cesse d’augmenter. On peut comprendre cette propriété par un argument de « dépliage-repliage ». On peut paver le plan avec une infinité de triangles de même forme que le triangle de départ. Chaque triangle est alors obtenu par une réflexion d’un de ses voisins par rapport au côté commun. Traçons un cercle de rayon proportionnel au temps dans le plan. Considérons la partie du cercle contenue dans un triangle particulier, et réfléchissons-la autant de fois qu’il faut pour qu’elle arrive dans le triangle initial. On obtient alors le front de la simulation.

Front d'ondes dans une ellipse

Un « front d’onde », constitué de \(2000\) particules sans interaction, est émis du centre d’une ellipse. Les particules font des réflexions élastiques sur le bord de l’ellipse (l’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion), comme pour la lumière en optique géométrique.

On sait que la longueur du front d’onde augmente au cours du temps, de manière linéaire en moyenne. Plus précisément, il existe deux constantes positives \(a\) et \(b\) telles que cette longueur au temps \(t\) soit comprise entre \(at\) et \(bt\). Ce phénomène est expliqué plus en détail dans Un bol de café et un donut de David Vicente.

Pour que le front d’onde apparaisse continu, on a dû ajouter des particules au cours du temps. Ce nombre atteint \(40000\) à la fin de la simulation. Il existe un seul cas particulier dans lequel la longueur du front d’onde ne croît pas sans limites: c’est lorsque le front part d’un foyer de l’ellipse. Le front se concentre alors alternativement dans les deux foyers.