C’est pourtant simple !

Tout est si simple quand on a compris. Quand après des heures, des mois, des années de travail, on finit par voir les objets sous le bon angle. Amis lecteurs, professionnels des maths ou amateurs, je vous soumets ici un petit problème qui illustre parfaitement la révélation qui s’opère quand on a enfin compris, quand on se pose enfin les bonnes questions…

C’est un collègue Russe, Vladimir Vatutin, invité à Vannes, qui me l’a soumis : j’ai adoré ! Le problème est le suivant. Vous avez un verre en main et vous vous trouvez devant un immeuble de 100 étages. Vous vous demandez alors :

 » à partir de quel étage le verre jeté de la fenêtre se cassera-t-il ? ». Voilà une question bien naturelle !

Si vous ne pouvez sacrifier qu’un seul verre, la seule stratégie est de tester les étages un par un, en remontant. Votre ami qui lui aussi a un verre en main vous propose son verre pour accélérer l’expérience. Le jeu consiste alors à trouver une stratégie qui donne le nombre minimal de lancers, pour répondre à la question de façon certaine (en cassant au plus 2 verres) dans tous les cas. Effectivement, on peut gagner beaucoup d’essais grâce au second verre. Par exemple, on peut jeter un verre du cinquantième étage et n’avoir alors plus qu’au plus 50 étages à tester. Cela donne alors une solution en moins de 51 lancers (la pire des situations étant celle où le verre ne casse même pas du 100 ème étage). Mais il y a bien mieux ! Lancer le premier verre au 10 ème, puis au 20 ème s’il ne se casse pas, et ainsi de suite de 10 en 10. Puis dès qu’il se casse, on utilise le second pour affiner la fourchette dans l’intervalle déterminé en testant au plus 9 étages intermédiaires. Cela fait au plus 19 lancers ! On a l’impression que les stratégies vont dépendre de l’arithmétique de ce nombre d’étages. Pour garder le suspens, je ne donnerai la solution à ce problème que dans 2 jours. Je dis seulement qu’on peut faire mieux que 19. Mais d’ici là, si vous avez d’autres petits problèmes de ce genre, qui semblent, d’un prime abord d’une assez grande complexité, mais qui, après coup sont très accessibles n’hésitez pas à commenter ce billet pour les faire partager au plus grand nombre.