Comment atteindre 61 689 600 ?

Voici une question sur laquelle les lecteurs auront peut-être des lumières à m’apporter.

C’est sans doute ne pas s’avancer beaucoup que de supposer que personne ou presque n’a jamais entendu parler de Jean Leurechon. (C’est d’ailleurs à mon avis fort dommage, mais ce n’est pas le sujet.) À ce jésuite est attribué un livre intituléRécréation mathématicque , initialement paru en 1624 puis réédité et traduit tout au long du XVII^e siècle (on le trouve facilement sur internet, par exemple ici).

Si Albrecht Heeffer (université de Ghent), qui prépare une nouvelle édition en anglais de ce livre, lit ces quelques lignes, il est probable qu’il s’étrangle car, selon lui, c’est improprement que la Récréation est attribuée à Leurechon : son véritable auteur serait Jean Appier Hanzelet (tout aussi inconnu d’ailleurs, si ce n’est plus). Il reste que les considérations de la Récréation mathématicque qui vont nous concerner s’inspirent très largement de celles d’un ouvrage de deux ans antérieur, les Selectæ propositiones , qui est bel et bien de Leurechon. (En tout état de cause, il serait anachronique de parler de plagiat, la notion de propriété intellectuelle au XVII^e siècle ayant peu à voir avec la nôtre.) Va pour Leurechon-Hanzelet, et n’en parlons plus.

Dans un passage de la Récréation , Leurechon-Hanzelet s’amuse(nt ?) avec des modèles démographiques fondés sur des suites géométriques, c’est-à-dire dans lesquels le nombre d’individus de chaque nouvelle génération s’obtient en multipliant par un facteur r (constant) le nombre d’individus de la génération précédente. Étant donné que les suites géométriques ont pour propriété de croître très vite, c’est un jeu amusant que de remplir la Terre avec des grains de moutarde ou des cochons en seulement quelques années.

Ce point de vue est extrêmement intéressant et moderne à beaucoup d’égards (je vous en reparlerai peut-être une prochaine fois). Mais il y a tout de même un petit défaut dans le texte : beaucoup des calculs sont incorrects. C’est vrai que pour nous autres, avec nos logiciels de calcul, la critique est facile : essayez donc de calculer à la main \(30^{12}\), de diviser le résultat par \(50^3\), et enfin de diviser par 4… (Vous trouvez 1 062 882 000 000 ? Alors bravo, je m’incline.)

Traquer les erreurs n’a pas pour but de mettre une mauvaise note à Leurechon-Hanzelet, mais de comprendre les détails dans la conception du texte. Par exemple, il arrive qu’un calcul soit juste et que le résultat soit mal recopié (c’est le cas pour la valeur 1 060 882 000 000 qui apparaît correctement dans les Selectæ mais est altérée en 10 608 882 000 000 dans la Récréation ). On peut en revanche démontrer la présence d’une vraie faute de calcul lorsqu’on observe qu’une valeur incorrecte est réutilisée dans des calculs ultérieurs.

Bref, il s’agit de faire comme un enseignant qui, constatant une faute dans la copie d’un élève, tente d’en cerner l’origine. Et il y a au moins un cas dans la Récréation pour lequel je ne comprends vraiment pas ce qui a pu se passer. L’énoncé concerné est on ne peut plus simple (pour ceux qui veulent vérifier, il est en page 114 du lien donné ci-dessus) : on part de 100 brebis, chaque brebis en produit une autre chaque année, et l’on se demande combien il y en aura au bout de 16 ans (les brebis ne meurent pas). Il s’agit donc de calculer \(100×2^{16}\), ce qui donne 6 553 600.

Problème : le texte donne, lui, la valeur 61 689 600, qui est tout de même fort différente. D’où la question : comment se tromper dans le calcul de \(100×2^{16}\) de sorte à obtenir 61 689 600 ?

Pour calculer \(2^{16}\), le plus simple est d’effectuer 256×256, car \(2^8×2^8 = 2^{16}\) et \(2^8 = 256\). (Des variantes sont bien entendu possibles, par exemple \(32×32×32×32\), ou même une multiplication par 2 répétée seize fois.) Pourtant, en posant le calcul, on ne voit pas quel oubli de retenue, ou quelle mauvaise utilisation des tables de multiplication, pourrait produire une telle erreur — le plus étrange étant que le résultat soit faux d’un facteur dix.

La décomposition en facteurs premiers de 616 896 est \(2^6×3^4×119\). Le gros exposant du 2 suggère une erreur relativement tardive dans le calcul, et ne portant que sur les premiers chiffres significatifs. L’exposant du 3 a l’air un peu trop gros pour être honnête, mais peut-être doit-on appliquer la présomption d’innocence et supposer qu’il n’est là que par hasard. Quant au 119, il donne l’impression d’être venu faire un petit coucou juste comme ça.

Des idées ?