Crise de croissance

Dans mes billets je vous présente les liens qui unissent ma pratique artistique aux mathématiques et réciproquement. Mais je vous proposerai également des exemples pris chez d’autres artistes où je perçois un lien fort entre art et mathématique-physique. Lien, peut-être inconscient de la part de leurs auteurs, mais dont la réalisation nous amène à réfléchir sur la mixité effective art-mathématique et la chance que nous pouvons avoir en possédant une petite culture ou connaissance mathématique-physique pour nous ouvrir les portes d’une sensibilité particulière.

Parfois ce sont des préoccupations ou situations mathématiques que je mets en scène et parfois ce sont des problèmes plastiques qui nécessitent d’en passer par une résolution mathématique préalable. Dans « images et visualisation » vous pouvez consulter un exemple.

Un exemple assez simple en soi mais impressionnant et illustrant bien un concept élémentaire mais abstrait, tant qu’il demeure au stade du résultat fourni par la calculette, est celui de la croissance … géométrique particulièrement.

Pas besoin de s’étendre. Nous connaissons tous au moins le discours de la croissance économique. Pour fixer les idées, si besoin, je citerai cet exemple des nénuphars. Posez la question autour de vous et vous serez surpris par les réponses. Etant donné un étang sur lequel des nénuphars se développent de manière à couvrir chaque année une surface double à celle de l’année précédente. Vos grand-parents vous ont raconté qu’ils ont toujours vu ces nénuphars, que cela fait bien un siècle au moins qu’ils ont dû apparaître. Il se trouve qu’actuellement ces nénuphars couvrent la moitié de l’étang … Dans combien d’années pensez vous que l’étang sera totalement recouvert ?

Comme premier exemple plastique illustrant visuellement ce phénomène je vous présenterai la réalisation que je fis en 2004 sur un chemin fermé de montagne. Ce chemin faisait environ 4 km de long et je proposais comme projet de le baliser avec des bornes en progression géométrique de 5%. Ces bornes seraient constituées de CDRom périmés sur lesquels je marquerai le numéro et la distance accomplie correspondante. Je partirai d’une distance D\(_1\) de 100 cm séparant le premier CD du deuxième. Ensuite la distance D\(_2\) séparant le deuxième du troisième vaudra 105 cm. Ainsi de suite …

D\(_n\) = \(1,05\) D\(_{n-1}\) ou encore D\(_n\) = \(1,05^{n -1} \times\) (D1) et le chemin parcouru de la première borne à la \({n+1}\)ème T\(_{n+1}\) = \(\frac{1,05^n – 1}{0,05}\).

D3 = 110 cm, D4 =116 cm, D5 = 122 cm … A cette vitesse là on pouvait penser que je n’arriverai pas à boucler mon projet …. 4 km soit 400 000 cm au total ! d’autant plus que sur place je partais dans un passage rocailleux (le rocher même parfois) et qu’il fallait être précis au centimètre près si je voulais que l’installation ait un sens. De plus, bien entendu, je n’avais pas de ces grosses foreuses à moteur à essence pour m’aider … pas d’électricité en pleine nature. Je crus bien ne jamais réussir à accomplir mon projet. Les deux premiers jours je n’avais pas parcouru plus de 200 m me heurtant à chaque nouvelle borne à la roche qui me demandait de buriner alors que je ne disposais que de cinq jours avant l’inauguration. C’était un symposium où plusieurs sculpteurs étaient invités à réaliser une œuvre le long du chemin sur une durée de cinq jours.

D20 = 253 cm … on peut commencer à tricher de quelques cm si on bute sur une roche mais pas trop … ça ne se verra pas à l’œil. Cependant le chemin parcouru n’est que de 33,07 m sur les 4000 m !

D49 = 1040 cm et le chemin parcouru 198,4 m … fin du deuxième jour … et fatigué physiquement de tous ces coups de marteau !

Petite gratification : j’avais bien songé et choisi les CD rom pour le phénomène d’irisation qui produit ces belles couleurs de l’arc en ciel et apporte un contraste avec la nature. Bien sûr j’avais songé qu’ils feraient également miroir mais je n’étais pas allé plus loin dans mon imagination. Je fus tout étonné et très agréablement surpris de voir le paysage et les montagnes se refléter dans ces petits disques. Je n’avais pas songé que ceci puisse avoir un tel impact.

Pour abréger, à la fin du troisième jour j’étais arrivé à la borne 97 : D96 = 10 819 cm (108 m) et parcouru une distance T97 de 2144 m ! Le sol était plus tendre et si besoin je pouvais tricher grossièrement. Pour mesurer les distances j’avais une roue d’arpenteur … mais je devais faire plusieurs fois le chemin pour mesurer et déplacer le matériel.

Pour finir je bouclais le chemin en début d’après midi du quatrième jour ayant employé 111 bornes et parcouru un chemin de 4204 m, la distance D110 séparant les deux dernières bornes étant alors de 204 m.

La dernière borne (hasard un peu forcé) se situait à l’angle de la mairie, à une dizaine de mètres de la ligne de départ du circuit. Hasard un peu forcé mais où se situerait ma tricherie ? Mesurant avec ma roue d’arpenteur, la précision a ses limites mais plus encore … et ceci nous renverrait vers les fractals (et la mesure de la côte bretonne). Où est la bonne mesure sur une surface escarpée ? La roue fait un lissage entre deux sommets ou cailloux sur lesquels elle roule. Donc pas de scrupule à avoir un peu triché d’autant plus que l’objectif n’était pas d’être scrupuleux jusqu’au bout des ongles.

La conclusion s’impose d’elle-même. Cependant ce qui est traître et que j’ai vérifié par moi même : si j’étais ravi de gagner quelques décimètres durant les deux premiers jours je fus étonné lors du troisième et quatrième de m’accommoder et oublier ces premiers pas difficiles, progresser de dizaines et centaines de mètres n’ayant pas l’impression de progresser à pas de géant. Une accoutumance aux grandes distances me faisait percevoir comme minime la différence de distance entre deux bornes. 5% c’est peu !

Je suis persuadé que les visiteurs auront vécu la même expérience. Au départ une enfilade de CD Rom puis chemin faisant …la distance, la raréfaction les auront sans doute conduit à oublier. De temps à autre une borne viendrait leur rappeler la chose. Difficile de décrypter la logique (mathématique) qui supportait la progression. Aux visiteurs accompagnés le guide annonçait le propos mais qu’en a-t-il été des visiteurs libres ? Il est dangereux de se laisser emporter par ce genre de croissance car elle nous endort alors que nous devrions rester vigilant.

Voilà pour le discours. Plastiquement et émotionnellement ou de manière sensible ces petits miroirs apportaient la présence du paysage environnant, proche ou lointain, dans un disque de 12 cm. Mais ces émotions visuelles ne se traduisent pas aisément avec des mots. Il faut voir. Sans doute l’envie de partager donnera envie de mettre des mots … ce ne seront que le pâle reflet de ces miroirs.