De la beauté : la formule de Stokes

On peut trouver une formule mathématique « belle », esthétique, même sans y rien comprendre. De même que l’on apprécie d’écouter un concerto pour violon sans comprendre les règles et les idées selon lesquelles il a été composé.

 

Esthétique

On peut trouver une formule mathématique « belle », esthétique, même sans y rien comprendre. De même que l’on apprécie d’écouter un concerto pour violon sans comprendre les règles et les idées selon lesquelles il a été composé. Voici par exemple un assemblage de quelques exemplaires du signe de l’intégrale

\[\int\]

avec son élégante courbure, qui le fait ressembler à une ouïe d’un violon, assemblés à de belles fractions avec ces \(\partial\), des « d » aux doux arrondis…

\[\int\!\!\!\int_\Omega\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big)\,dx\,dy=\int_CP\, dx+Q\, dy.\]

Cette formule s’appelle « formule de Green » ⁷Rien à voir avec Verlaine… C’est le nom d’un mathématicien anglais, George Green (1793–1841)., ou « formule de Green-Riemann ».

Il y a aussi la formule « de Green-Ostrogradsky », ou d’Ostrogradsky ⁸Du nom de Mikhail Vasilevich Ostrogradsky (1801–1862), un mathématicien russe.:

\[\int\!\!\!\int\!\!\!\int_V{\rm div}\,F\cdot dV=\int\!\!\!\int_S F\cdot dS\]
que j’ai apprise il y a déjà longtemps dans un cours d’électromagnétisme: cette formule permet de calculer le {flux} d’un champ électrique à travers une surface. Elle exprime alors un théorème de Gauss.

Théorème de Gauss, du flux-divergence, formule d’Ostrogradsky, j’avoue avoir eu un peu de mal à m’y retrouver.

La légende raconte que les notes d’un cours de calcul différentiel donné par Ostrogradsky à Moscou avaient servi, par manque de papier-peint, à tapisser les murs de la chambre d’enfant d’une fillette russe qui ne s’appelait pas encore Sofia Kovalevskaya… et qui devait devenir mathématicienne ⁹Voir ici un article de ce site et là de la publicité pour un livre.. Sans doute rêvait-elle en regardant ces formules. Sans doute les trouvait-elle belles. Sa familiarité avec ces formules qu’elle ne comprenait pas a-t-elle joué un rôle dans son goût pour les mathématiques? Elle a raconté l’histoire comme si elle y croyait.

En ce temps-là, Sir George Gabriel Stokes ¹⁰Né en 1819, mort en 1903., encore un Britannique, était déjà un mathématicien connu et reconnu, professeur à Cambridge, titulaire d’une chaire prestigieuse qu’Isaac Newton avait occupée en son temps… C’était un mathématicien et un physicien. Il a certainement pensé lui aussi à ces formules. Je ne sais pas sous quelle forme il les a écrites, sans doute quelque chose comme

\[\int\!\!\!\int_S{\rm rot}\,F\cdot dS=\int_C F\cdot dn.\]

Une parenthèse

Peut-être n’êtes-vous pas contents que je parle si longtemps d’« objets » mathématiques en les traitant comme des « objets tout court ». Puisque vous m’avez suivie jusque là, voici un cas particulier de la formule de Stokes, le plus simple de tous :

\[\int_a^bf'(x)\,dx=f(b)-f(a).\]

Dans les pays anglo-saxons, on appelle ça « le théorème fondamental du calcul différentiel ». Les lycéens français des filières scientifiques ne l’appellent pas ainsi mais l’apprennent en terminale.

Beauté abstraite

Revenons à la formule de Stokes « avec \(d\omega\) ». Ce n’est pas le but de ce billet de vous expliquer pourquoi, mais sachez qu’une des qualités de cette formule « courte », c’est qu’elle contient toutes celles que j’ai déjà écrites. C’est aussi une de ses beautés. Sa simplicité et sa généralité. Pour l’écrire ainsi, il fallait inventer

ce qui permet de passer du \(P\, dx+Q\, dy\) de la formule de Green au \(\omega\) de la formule « de Stokes »
ce qui permet de passer de \(\omega\) à \(d\omega\)
et de \(V\) à \(\partial V\)…
Ce sont des mathématiques du vingtième siècle ¹¹La forme différentielle \(\omega\), sa dérivée extérieure \(d\omega\) inventée par Élie Cartan (et aussi Georges de Rham et Erich Kähler), le bord \(\partial V\) de la variété \(V\)….

La beauté de la formule, moins clinquante, plus secrète mais réelle, devenue beaucoup plus abstraite, repose maintenant sur le passage du \(d\) de gauche au \(\partial\) de droite. Il y aurait de quoi écrire quelques articles « hors piste » pour ce site, mais pour aujourd’hui, je m’arrête là ¹²Là gît l’homologie..