Défi de la semaine
Considérons \(20\) nombres entiers consécutifs supérieurs à \(50\). Quelle est la quantité maximale de nombres premiers dans cet ensemble ?
Solution du 4e défi de novembre 2023
Réponse : \(m=67\) et \(n=34\)
Nous savons que \(N+3333=n^2+3333\) est un carré parfait.
Posons \(M=m^2=n^2+3333\).
On a alors \(M-N=m^2-n^2=(m+n)(m-n) = 3333=3\times 11\times 101\).
Les valeurs possibles du couple \((m+n,m-n)\) sont donc \((3333,1)\), \((1111, 3)\), \((303,11)\) et \((101,33)\).
Or \(m^2\) ne contient que \(4\) chiffres, donc \(n<m<100\).
L’unique possibilité est donc \(m+n=101\) et \(m-n=33\), donc \(m=67\) et \(n=34\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
9h19
Pour k entier naturel non nul, les seuls nombres premiers possibles dans l’intervalle [30k ; 30k+29] sont ceux de la forme 30k+1, 30k +7, 30k+11, 30k+13, 30k+17, 30k+19, 30k+23 et 30k +29, les autres étant multiples de 2 ou de 3 ou de 5.
Tout ensemble de 20 entiers consécutifs supérieurs à 50 ne peut contenir au maximum que 6 nombres de cette forme, donc au maximum 6 nombres premiers.
c’est le cas avec les entiers de 97 à 116 où 97, 101, 103, 107, 109 et 113 sont premiers
10h45
Faisons un crible d’Erastothène sur un carré 5×5 contenant les 20 entiers consécutifs recherchés. En supprimant les nombres pairs, les multiples de 3 et de 5, il reste un crible qui peut avoir entre 5, 6 à 7 nombres au plus.
La meilleure configuration avec 7 trous est celle où l’intervalle correspond à 5N-1 , 5N+1 , 5N+7, 5N+11, 5N+13, 5N+17, 5N+19
L’intervalle ne contenant que des nombre premiers convient pour N=5639 , et parmi les 20 entiers consécutifs, 7 sont premiers : 5639 , 5641 , 5647 , 5651 , 5653 , 5657 , 5659
11h49
Bonjour,
petit problème avec votre solution : Si N est le premier nombre d’une suite de 20 entiers consécutifs, le dernier est N + 19 et non N + 20.
La solution est donc 6 comme le montre d’ailleurs votre exemple.
12h10
De 5639 jusqu’à 5659, cela fait 21 nombres consécutifs et non 20 !!!
8h46
Je ne donne que la partie entière des valeurs des fractions.
\(20/2=10\) nombres sont pairs : il reste \(10\) entiers potentiellement premiers.
\(20/3=6\) nombres sont multiples de \(3\) et un sur deux est déjà décompté dans les pairs : il reste \(10-6/2=7\) nombres potentiellement premiers.
\(20/5=4\) nombres sont multiples de \(5\) dont deux sont pairs et un peut être un multiple de \(3\) et donc déjà décomptés : il reste \(7-1=6\) nombres potentiellement premiers.
\(20/7=2\) nombres sont multiples de \(7\) dont un peut être pair et l’autre multiple de \(3\) et sont donc déjà décompté tous les deux : il reste \(6\) nombres potentiellement premiers.
\(20/11=1\) nombre est multiple de \(11\) qui peut être pair donc déjà décompté.
A partir du nombre premier \(11\) et jusqu’au nombre premier \(19\), il n’y a qu’un seul multiple qui peut être pair et donc déjà décompté.
A partir du nombre premier \(23\), il peut n’y avoir aucun multiple.
Le nombre maximal de nombres premiers parmi \(20\) entiers consécutifs est \(6\).