Défi de la semaine
Les nacelles de la grande roue de Paris sont espacées de manière régulière et portent les numéros \(1, 2, 3, …\) Au moment où la nacelle numérotée \(25\) est au point le plus bas, la nacelle numérotée \(8\) est au point le plus haut. Combien la grande roue comporte-t-elle de nacelles?
Solution du 1er défi de décembre 2023
Réponse : il y a au plus six nombres premiers.
L’idée est d’éliminer de la liste tous les nombres n’étant pas premiers. Dans un ensemble de \(20\) entiers consécutifs, dix sont des multiples de \(2\). Ils ne sont donc pas premiers et sont à éliminer.
Il y a également dans la liste au moins six multiples de \(3\). Parmi ces six multiples de \(3\), trois sont aussi multiples de \(6\) et donc de \(2\), ils avaient donc déjà été éliminés, mais les trois autres peuvent être éliminés.
Il y a enfin quatre multiples de \(5\). Parmi ces quatre multiples de \(5\), deux sont multiples de \(10\) mais, parmi les deux restants, au moins un n’est pas multiple de \(3\). On peut donc éliminer encore au moins un nombre.
Dans une liste de vingt entiers consécutifs, on peut donc éliminer au minimum \(10+3+1=14\) nombres qui ne peuvent pas être premiers~: il y a au plus six nombres premiers.
Remarquons pour conclure que la liste des \(20\) nombres de \(97\) à \(116\) fournit un exemple avec six nombres premiers~: \(97\), \(101\), \(103\), \(107\), \(109\) et \(113\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
6h25
Entre la nacelle 8 et la nacelle 25, il y a d’un côté de la roue 16 nacelles de 9 à 24 et par symétrie 16 nacelles de l’autre côté. Sans oublier les numéros 8 et 25, le nombre de nacelles est 16 + 16 + 1 + 1 = 34.
12h13
Solution au 1er défi !
La solution au 1er défi semble séduisante, mais quelles sont les bases du raisonnement ? –
Qulles propriétés des nombres utilise -t -on ?
Sous quelle forme générale peut-on écrire une suite consécutive de 20 nombres entiers pour raisonner juste ?
(Par exemple, si on l’écrit sous la forme [ n+1, n+2, …, n+20 ], on fera des raionnemens faux…
18h57
Autre solution : De 8 à 25 il y a 17 nacelles pour la moitié de la roue, donc : (25 – 8) x 2 = 34 nacelles