Défi de la semaine
On pioche parmi neuf cartes numérotées de \(1\) à \(9\). Si toutes les sommes de paire de deux cartes de notre main sont distinctes, on gagne, sinon on perd. Ainsi, la main \(\{1,3,9\}\) est gagnante alors que la main \(\{1,2,3,4\}\) est perdante car \(1+4=2+3\). Quelle est le nombre maximal de cartes qu’une main gagnante peut contenir?
Solution du 2e défi de décembre 2023
Réponse : \(34\) nacelles.
Entre les nacelles \(8\) et \(25\), il y a \(25-8-1=16\) nacelles d’un côté (sans compter la 8 ni la 25).
Par symétrie, il y a aussi \(16\) nacelles de l’autre côté.
La grande roue comporte donc en tout \(16+16+2=34\) nacelles.
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
8h59
La plus petite somme possible est \(1+2=3\) et la plus grande est \(8+9=17\). Il y a donc en tout \(17-3+1=15\) sommes possibles. Avec \(n\) cartes en main on forme \((_{n}^{2})\) paires donc \((_{n}^{2}) \leq 15\), soit \(n \leq 6\), car \((_{7}^{2}) = 21\). Mais \((_{6}^{2}) = 15\) donc avec \(n=6\) cartes on doit couvrir toutes les sommes de \(3\) à \(17\). Or la seule paire donnant \(3\) est \(\{1,2\}\) et la seule donnant \(17\) est \(\{8,9\}\). La main est alors perdante car \(1+9=10=2+8\). D’où \(n \leq 5\). On a plusieurs solutions avec \(n=5\) par exemple \(\{1,2,3,5,8\}\) qui donne bien \((_{5}^{2}) = 10\) sommes distinctes :
\(1+2=3\)
\(1+3=4\)
\(1+5=6\)
\(1+8=9\)
\(2+3=5\)
\(2+5=7\)
\(2+8=10\)
\(3+5=8\)
\(3+8=11\)
\(5+8=13\)
22h00
Si le nombre de cartes est égal à un entier quelconque \(n\) > 2, alors il existe toujours une main de taille maximale qui inclut tous les termes non nuls et inférieurs ou égaux à \(n\) de la suite de Fibonacci.