Défi de la semaine
Pierre, Paul et Jacques partent en balade. Au moment de déjeuner, ils partagent équitablement les boissons. Pierre a apporté quatre boissons et Paul trois. Jacques n’en a pas, mais il met \(2\) euros et \(10\) centimes au pot commun. Comment Pierre et Paul doivent-ils se répartir cette somme ?
Solution du 3e défi de décembre 2023
Réponse :
On observe tout d’abord que la somme maximale de deux cartes est \(9+8=17\) et que la somme minimale est \(1+2=3\).
Il y a donc au maximum \(15\) sommes distinctes de deux cartes (de \(3\) à \(17\)).
Remarquons également qu’avec une main de six cartes, on peut former \(C_{6}^2=\frac{6\times5}{2}=15\) paires de deux cartes.
Comme on veut que toutes les sommes soient distinctes, une main gagnante de six cartes devrait contenir la somme maximale et la somme minimale, c’est-à-dire les cartes \(1,2,8\) et \(9\). Mais \(1+9=2+8\). Il n’existe donc pas de mains gagnantes de six cartes.
Remarquons pour conclure que la main de cinq cartes constituée des cartes \(1,2,3,5\) et \(9\) est gagnante. En effet, les sommes \(1+2=3\), \(1+3=4\), \(1+5=6\), \(1+9=10\), \(2+3=5\), \(2+5=7\), \(2+9=11\), \(3+5=8\), \(3+9=12\) et \(5+9=14\) sont toutes distinctes.
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
8h36
Après s’être partagé \(4+3=7\) boissons équitablement, chacun aura bu \(\frac{7}{3}\) de boissons.
Pierre aura alors fourni \(4-\frac{7}{3}=\frac{16}{3}-\frac{7}{3}=\frac{5}{3}\) de boissons à Jacques et Paul \(3-\frac{7}{3}=\frac{9}{3}-\frac{7}{3}=\frac{2}{3}\).
Pierre et Paul doivent donc se partager \(210\) centimes selon le ratio \(5:2\) soit \(\frac{5}{7}\times210=150\) centimes pour Pierre et \(\frac{2}{7}\times210=60\) centimes pour Paul.
10h21
Rectification : \(4-\frac{7}{3}=\frac{12}{3}-\frac{7}{3}=\frac{5}{3}\)
11h33
Ja a fourni \(210c\) et il doit participer à hauteur de \(70c\).
Pa et Pi doivent donc se partager \(210c-70c=140c\).
Pi a apporté \(4/7\) de \(140c\) et reçoit donc \(80c\).
Pa reçoit donc \(140c-80c=60c\).
13h58
Pierre ne peut pas recevoir 2 fois plus d’argent que pierre alors qu’il n’a pas fourni 2 fois plus de boissons.
Jacques n’a besoin de donner que 60+80=140cts (sur les 210cts du départ) pour équilibrer les dépenses de chacun.
23h42
Pierre et Paul n’ont pas à être payés pour toutes les boissons qu’ils ont apportées mais uniquement pour les boissons qu’ils n’ont pas bues et qu’ils ont données à Jacques. Or Pierre en a bien donné \(2,5\) fois plus que Paul à Jacques, donc il doit bien recevoir \(2,5\) fois plus que Paul. Ce qui fait bien \(150\)c pour Pierre et \(60\)c pour Paul.
13h59
Pierre ne peut pas recevoir 2 fois plus d’argent que PAUL
12h19
Modélisons donc les différentes étapes de ce problème :
« Pierre, Paul et Jacques partent en balade. […] Pierre a apporté quatre boissons et Paul trois. Jacques n’en a pas »
Pierre : 4 boissons
Paul : 3 boissons
Jacques : 0 boisson
Au total : 7 boissons
« Au moment de déjeuner, ils partagent équitablement les boissons. »
Puisqu’il s’agit de partager en trois parts égales, considérons des tiers de boissons :
Pierre : 12 / 3 boissons
Paul : 9 / 3 boissons
Jacques : 0 boisson
Au total : 21 / 3 boissons
Chacun bénéficie équitablement de : 21 / 3 / 3 = 7 / 3 de boissons :
Pierre : 12 / 3 boissons – 7 / 3 = 5 / 3 boissons
Paul : 9 / 3 boissons – 7 / 3 = 2 / 3 boissons
Jacques : 0 boisson – 7 / 3 = – 7 / 3 boissons
Au total reste : 0 boisson.
Multiplions les fractions par 3 :
Pierre : 5 parts
Paul : 2 parts
Jacques : – 7 parts
« Jacques […] met 2 euros et 10 centimes au pot commun. »
Jacques échange donc sa dette de 7 parts contre 2 euros et 10 centimes, soit 30 centimes d’euros par part.
« Comment Pierre et Paul doivent-ils se répartir cette somme ? »
Pierre reçoit 5 parts, soit 1 euro 50, et Paul 2 parts soit 60 centimes d’euros.