Solution du quatrième défi
La réponse est \(v=4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}\).
Depuis le point mentionné, il faut le même temps pour parcourir \(42\,\%\) à contre-courant que \(58\,\%\) dans le sens du courant. Cela signifie que le jet-ski est \(\frac{58}{42}\) fois plus rapide en suivant le courant qu’à contre-courant. Si l’eau se déplace à une vitesse de \(v\) km/h, alors \(25+v\) est la vitesse dans le sens du courant et \(25-v\) la vitesse à contre-courant. On a donc \(\frac{25+v}{25-v}=\frac{58}{42}\), d’où \[58 \times(25-v)=42 \times (25+v)\] c’est-à-dire \(1450-58v=1050+42v\). Ainsi, \(400=100v\), ce qui donne \(v=4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}\).
Quatrième défi
Un jet-ski avance à \(25\, \mathrm{km}/\mathrm{h}\) par rapport à l’eau. Il va de \(A\) à \(B\), se déplaçant avec un courant constant. À un certain point, il a parcouru \(42\,\%\) de la distance totale et il lui faudrait le même temps pour atteindre \(B\) que pour retourner à \(A\). Quelle est la vitesse du courant ?
Solution du troisième défi
La réponse est trois sœurs et quatre frères.
On peut commencer par noter qu’Ondrej est un garçon puisqu’il n’a pas le même nombre de frères et sœurs que sa sœur. Soit \(x\) le nombre de sœurs qu’a Ondrej. Alors, comme il a le même nombre de sœurs que de frères, il y a \(x + 1\) frères dans la famille. Maintenant, comme Alena a deux fois plus de frères que de sœurs, on a \(x + 1=2(x-1)\), d’où \(x = 3\). Ainsi, il y a trois sœurs et quatre frères.
Troisième défi
Ondrej a autant de frères que de sœurs. Sa sœur Alena a deux fois plus de frères que de sœurs. Combien de frères et sœurs y a-t-il dans cette famille ?
Solution du deuxième défi
Réponse : \(5\) cartes
Si toutes les cartes comportaient le nombre \(4\), la somme serait \(72\), qui n’est pas un multiple de \(17\). Si toutes les cartes comportaient le nombre \(5\), la somme serait \(90\), qui n’est pas non plus un multiple de \(17\). Comme \(85\) est le seul nombre entre \(72\) et \(90\) qui est multiple de \(17\), il nous faut écrire \(85\) comme somme de \(4\) et de \(5\).
Comme \(90\) excède de \(5\) le nombre \(85\), si l’on écrit le nombre \(4\) sur cinq cartes et le nombre \(5\) sur les treize cartes restantes, on obtient \(85\). Ainsi, le nombre \(4\) est écrit sur cinq cartes.
Deuxième défi
On dispose de \(18\) cartes. Sur chaque carte est écrit le nombre \(4\) ou bien le nombre \(5\). Si la somme de tous les nombres de toutes les cartes est divisible par \(17\), sur combien de cartes est écrit le nombre \(4\)?
Solution du premier défi
En multipliant l’équation \(\left(\frac 32\right)^p=2^q\) par \(2^p\), on est ramené à résoudre l’équation \(3^p=2^{p+q}\). Une solution évidente est \(p=q=0\), puisque toutes les puissances valent \(1\) dans ce cas. Si \(p\) et \(p+q\) sont non nuls et de signes opposés, l’un des nombres est plus petit que \(1\) et l’autre plus grand, ce qui est impossible. Si \(p\) et \(p+q\) sont tous deux négatifs, on peut passer aux inverses pour se ramener au cas où \(p\) et \(p+q\) sont des entiers strictement positifs. La puissance \(2^{p+q}\) serait alors un nombre pair puisque \(p+q\geq 1\). Mais une puissance de \(3\) est forcément impaire, ce qui peut se voir en développant \((2+1)^p\), en utilisant la factorisation en nombres premiers ou en utilisant le théorème de Gauss. La seule possibilité est donc \(p=q=0\). Cela montre qu’il ne peut pas exister de gamme tempérée où la quinte serait juste.
Premier défi : le problème du mois
Trouver tous les entiers relatifs \(p\) et \(q\) tels que
\[\displaystyle\left(\frac 32\right)^p=2^q.\]
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
17h07
Soit les 2 courbes:
y1=2^x et
y2= (1,5)^x
Quelque soit x>0; y1>y2 et
quelque soit x<0; y1 y1=y2=1
Donc p=q=0
20h06
Oups,
quel que soit x>0 ; y1>y2
et quel que soit x<0 ; y1
22h08
Le problème revient à dire que
3^p = 2 ^( q + p)
Comme 2 et 3 sont premiers ( entre eux), alors
la seule solution est p =0 et q + p = 0, d’où p=q=0
17h44
On calcule :
\((\frac{3}{2})^p = 2^q\)
\(p log (\frac{3}{2}) = q log (2)\)
\(\frac{q}{p} = \frac {log (\frac{3}{2})}{log2} \approx 0.58\)
Qu’on ne peut qu’approximer avec p et q entiers.
Finalement, seul p = q = 0 convient
18h00
(Désolé, premiers pas avec LaTeX)
On calcule :
\((\frac{3}{2})^p = 2^q\)
\(p \log (\frac{3}{2}) = q \log (2)\)
\(\frac{q}{p} = \frac {\log (\frac{3}{2})}{\log2} \approx 0.58\)
Qu’on ne peut qu’approximer avec p et q entiers.
Finalement, seul p = q = 0 convient.
19h54
Bizarre, les premières réponses ont disparu !
Reprenons: soit Y=1,5^p et Z=2^q
Si l’on trace les 2 courbes Y et Z (en pointillés puisque p et q € Z), elles se coupent en un seul point I (0,1),
Donc p=q=0
16h12
Deuxième défi
S’il y a \(n\) cartes \(4\), il y a \(18-n\) cartes \(5\), donc \(4n + 5(18-n)\) est multiple de \(17\). Modulo \(17\), cela s’écrit \(4n + 5(1-n) \equiv 0 \mod 17\), soit \(n \equiv 5 \mod 17\). Comme \(n \leq 18\), la seule possibilité est \(n = 5\). On vérifie que \(4*5 + 5*(18-5) = 17*5 \).
La solution est \(n = 5\).
9h02
Troisième défi
Si x est le nombre égal de frères ou de sœurs de Ondrej, alors il y a ( x + 1) garçons et x filles.
Si sa sœur Alena a deux fois plus de frères , soit ( x +1) garçons, que de sœurs, soit (x – 1) filles,
alors ( x + 1) = 2(x – 1) ,
donc x + 1 = 2x – 2, d’où x = 3
Donc il y a 4 garçons et 3 filles.
22h59
Soient (\v\) la vitesse du courant, (\d\) la distance de (\A\) à (\B\), et (\t\) le temps qu’il faut pour revenir à (\A\) ou atteindre (\B\).
S’il fait demi-tour le jet-ski avance à la vitesse (\25 – v\) par rapport à la terre, donc pour revenir en (\A\) il doit parcourir une fraction de la distance (\d\) égale à (\(25 – v)t/d = (50 – 8)/100 \).
S’il continue tout droit le jet-ski avance à la vitesse (\25 + v\) par rapport à la terre, donc pour arriver en (\B\) il doit parcourir une fraction de la distance (\d\) égale à (\(25 + v)t/d = (50 + 8)/100 \).
En divisant membre à membre et en simplifiant on obtient :
(\(25 – v)/(25 + v) = (50 – 8)/(50 + 8) = (25 – 4)/(25 + 4)\).
La réponse est donc (\v = 4 \) km/h.