Premier défi : le problème du mois
Si un tuyau d’orgue de longueur \(\ell\) émet une certaine note, alors un tuyau de longueur \(2\ell\) sonne une octave plus grave et un tuyau de longueur \(\ell\)/\(2\) sonne une octave plus aiguë. Les trois notes portent alors le même nom, par exemple trois do. Combien de noms différents portent les notes émises par un orgue de tuyaux de longueurs 12, 13, 14, . . ., 95 et 96 cm ?
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
15h35
Si on considère la relation d’équivalence $x \equiv y$ donnée par $x= 2^k \times y$, le nombre de notes de musique recherchées est égal au nombre de classes d’équivalence entre 12 et 96 inclus.
Par calcul (un programme en Python) on obtient 48.
Par raisonnement :
– il y a 42 nombres impairs $2k +1$ – on retient donc 42
– les nombres de la forme $4k +2$ entre 26 et 96 sont générés par multiplication par 2 des impairs – on ne les retient pas
– les nombres de la forme $4k + 2 $ entre 12 et 24 : 14, 18, 22 ne sont pas dans les classes d’équivalence on les garde (qui correspondent à 7, 9 et 11)
– les nombre de la forme $4k$ : on ne retient pas ceux à partir de 28 car générés par multiplication par 4
– reste à regarder 12, 16, 20, 24. Or $24 \equiv 12$. On garde encore 3 classes (qui correspondent à 3, 1 et 5)
Total 48.
Il se peut que je me trompe.
9h57
Si on écarte des nombres entre 12 et 96 tous ceux dont la moitié est aussi entre 12 et 96, il restera exactement un représentant de chaque note. Il s’agit donc de compter les nombres entre 12 et 96 dont la moitié n’est pas un entier entre 12 et 96. Ce sont d’une part les nombres impairs, au nombre de (96-12)/2, et d’autre part les nombres pairs de 12 inclus à 2*12 exclu, au nombre de 12/2.
La réponse est donc (96-12+12)/2 = 48.