Défis de juillet 2024

Une bonne manière d’aborder ce type de problème est de partir de la fin du jeu. Nous allons voir qu’Anna a une stratégie gagnante. Pour qu’Anna gagne, il suffit qu’au début d’un tour de jeu de Marine, celle-ci se retrouve avec zéro bonbon. Pour cela, il suffit qu’au tour d’avant, Anna laisse à  Marine $102$ bonbons. En effet, $102$ est un multiple de $3$ et Marine devra enlever au moins un bonbon et au plus $101$ bonbons. Donc elle laissera un nombre de bonbons entre $1$ et $101$. De plus, elle laissera à Anna $102$ bonbons moins un multiple de $3$ ou $102$ bonbons moins un multiple de $3$, moins $1$. Dans le premier cas, ce qui reste est un multiple de $3$ inférieur ou égal à $101$, donc Anna pourra prendre tous les bonbons. Dans le second cas, ce qui reste sera un multiple de $3$ plus $2$ et Anna pourra également prendre tous les bonbons. Donc Anna gagnera si elle laisse $102$ bonbons à Marine. Le même raisonnement montre qu’elle gagnera également si elle peut laisser $204=2\times 102$ bonbons à Marine. De même, si elle peut laisser $306=3\times 102$ bonbons à Marine, elle gagnera. De proche en proche, on voit qu’elle gagnera si elle peut laisser $918=9\times 102$ bonbons à Marine. Or $1001=918+83$ et $83=3\times 27+2$. Donc une stratégie gagnante pour Anna est de prendre $83$ bonbons au premier tour puis, à chaque coup, de laisser à Marine un multiple de $102$ bonbons.

On peut procéder ainsi :

$$\begin{array}{rcl}0& =& 4+4-4-4.\\ 1& =& \frac{4\times 4}{4\times 4}.\\ 2& =& \frac{4}{4}+\frac{4}{4}.\\ 3& =& \frac{4+4+4}{4}.\\ 4& =& 4+\frac{4-4}{4}.\\ 5& =& \frac{(4\times 4)+4}{4}.\end{array}$$

Le périmètre de chaque croix mesure $12\mathrm{c}\mathrm{m}$. Chaque fois que l’on ajoute une croix, le périmètre augmente de $12-6=6\mathrm{c}\mathrm{m}.$ Donc le périmètre de la figure formée par $20$ croix est $12+19\times 6=126\mathrm{c}\mathrm{m}$.

$A$ est le chiffre des unités de $3D$. $E$ est la somme du chiffre des unités de $3D$ et du chiffre des dizaines de $3D$.

Comme $0\le D\le 9$, on sait donc que $E=A+1$ ou $E=A+2$.

Si $E=A+1$, alors le chiffre des dizaines de $3D$ est $1$ et celui des unités de $3B$ est $7$, donc $B=9$.

Par conséquent, $3D+2=10+D$, ce qui donne $D=4$ et donc $F=1$. En conclusion, l’addition est
$$\begin{array}{ccccc}& 4& 9& 4& 4\\ & 4& 9& 4& 4\\ +& 4& 9& 4& 4\\ 1& 4& 8& 3& 2\end{array}$$

Si $E=A+2$, alors le chiffre des dizaines de $3D$ est $2$ et le chiffre des unités de $3B$ est $6$, donc $B=2$.

Mais, dans ce cas, $D$ est aussi le chiffre des unités de $3D$, qui est $A$, ce qui n’est pas possible car, par hypothèse, $A\ne D$.