Premier défi : le problème du mois
Anna et Marine vident une boîte de \(1001\) bonbons. À tour de rôle, elles doivent prendre entre \(1\) et \(101\) bonbons ; Anna doit en prendre une quantité sous la forme \(3k\) ou \(3k+2\), avec \(k\) entier ; Marine doit en prendre une quantité \(3k\) ou \(3k+1\). Celle qui perd est celle qui, à son tour de jeu, ne peut plus prendre de bonbons suivant la règle. Si Anna commence, comment peut-elle gagner ?
Solution du premier défi
Une bonne manière d’aborder ce type de problème est de partir de la fin du jeu. Nous allons voir qu’Anna a une stratégie gagnante. Pour qu’Anna gagne, il suffit qu’au début d’un tour de jeu de Marine, celle-ci se retrouve avec zéro bonbon. Pour cela, il suffit qu’au tour d’avant, Anna laisse à Marine \(102\) bonbons. En effet, \(102\) est un multiple de \(3\) et Marine devra enlever au moins un bonbon et au plus \(101\) bonbons. Donc elle laissera un nombre de bonbons entre \(1\) et \(101\). De plus, elle laissera à Anna \(102\) bonbons moins un multiple de \(3\) ou \(102\) bonbons moins un multiple de \(3\), moins \(1\). Dans le premier cas, ce qui reste est un multiple de \(3\) inférieur ou égal à \(101\), donc Anna pourra prendre tous les bonbons. Dans le second cas, ce qui reste sera un multiple de \(3\) plus \(2\) et Anna pourra également prendre tous les bonbons. Donc Anna gagnera si elle laisse \(102\) bonbons à Marine. Le même raisonnement montre qu’elle gagnera également si elle peut laisser \(204=2\times 102\) bonbons à Marine. De même, si elle peut laisser \(306=3\times 102\) bonbons à Marine, elle gagnera. De proche en proche, on voit qu’elle gagnera si elle peut laisser \(918=9\times 102\) bonbons à Marine. Or \(1001=918+83\) et \(83=3\times 27+2\). Donc une stratégie gagnante pour Anna est de prendre \(83\) bonbons au premier tour puis, à chaque coup, de laisser à Marine un multiple de \(102\) bonbons.
Deuxième défi
En utilisant les quatre opérations élémentaires \((+, -, \times, \div)\) et exactement quatre fois le nombre \(4\), obtenir tous les nombres entiers de \(0\) à \(5\). Par exemple, pour obtenir \(6\), on pourrait écrire \(6=4+\frac{4+4}{4}\).
Solution du deuxième défi
On peut procéder ainsi :
\begin{eqnarray*}
0 &=& 4+4-4-4.\\
1 &=& \frac{4\times 4}{4\times 4}.\\
2 &=& \frac{4}{4}+\frac{4}{4}.\\
3 &=& \frac{4+4+4}{4}.\\
4 &=& 4+\frac{4-4}{4}.\\
5 &=& \frac{(4\times 4)+4}{4}.
\end{eqnarray*}
Troisième défi
Si les segments qui forment les croix mesurent \(1\,{\rm cm}\), quel est le périmètre extérieur d’une figure formée par \(20\) croix assemblées comme ci-dessous ?
.
Solution du troisième défi
Le périmètre de chaque croix mesure \(12\,{\rm cm}\). Chaque fois que l’on ajoute une croix, le périmètre augmente de \(12-6=6\,{\rm cm}.\) Donc le périmètre de la figure formée par \(20\) croix est \(12+19\times 6= 126\,{\rm cm}\).
Quatrième défi
Si chaque lettre représente un chiffre distinct, que vaut la somme ?
$$
\begin{array}{ccccc}
& D & B & D & D\\
& D & B & D & D\\
+ & D & B & D & D\\
\hline
F &D & 8 & E& A
\end{array}
$$
Solution du quatrième défi
\(A\) est le chiffre des unités de \(3D\). \(E\) est la somme du chiffre des unités de \(3D\) et du chiffre des dizaines de \(3D\).
Comme \(0\leq D\leq 9\), on sait donc que \(E=A+1\) ou \(E=A+2\).
Si \(E=A+1\), alors le chiffre des dizaines de \(3D\) est \(1\) et celui des unités de \(3B\) est \(7\), donc \(B=9\).
Par conséquent, \(3D+2=10+D\), ce qui donne \(D=4\) et donc \(F=1\). En conclusion, l’addition est
\[
\begin{array}{ccccc}
& 4 & 9 & 4 & 4\\
& 4 & 9 & 4 & 4\\
+ & 4 & 9 & 4 & 4\\
\hline
1 &4 & 8 & 3 & 2
\end{array}
\]
Si \(E=A+2\), alors le chiffre des dizaines de \(3D\) est \(2\) et le chiffre des unités de \(3B\) est \(6\), donc \(B=2\).
Mais, dans ce cas, \(D\) est aussi le chiffre des unités de \(3D\), qui est \(A\), ce qui n’est pas possible car, par hypothèse, \(A\neq D\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
14h06
1er défi
Regardons ce qui se passe lorsqu’il ne reste presque plus de bonbons.
Avec 1 bonbon (3k + 1) Marine gagne et Anna ne peut pas jouer.
Avec 2 bonbons (3k + 2) Anna gagne et Marine ne peut pas jouer.
Avec 3 bonbons (3k) Anna et Marine gagnent si c’est leur tour.
Avec 4 bonbons (3k + 1) on retrouve le premier cas.
Avec 5 bonbons (3k + 2) on retrouve le deuxième cas.
Avec 6 bonbons (3k) on retrouve le troisième cas.
Etc.
Anna doit donc veiller à ne laisser qu’un nombre égal à 3k + 2 bonbons en jeu.
Après un coup de Marine, il peut exister que trois situations, soit le nombre de bonbons est égal à 3k, 3k + 1 ou 3k + 2.
Si le nombre de bonbons est égal à 3k + 1 alors Anna doit enlever 3k + 2 bonbons.
Si le nombre de bonbons est égal à 3k + 2 alors Anna doit enlever 3k bonbons.
Mais si le nombre de bonbons est égal à 3k, alors Anna ne peut redresser la situation.
Heureusement elle commence, avec une situation à 3k + 2 (1001 bonbons).
Examinons les coups de Marine à partir d’une situation à 3k + 2.
Elle peut enlever 3k bonbons et laisser une situation à 3k + 2.
Si elle choisit d’enlever 3k + 1 bonbons, alors cela laisse 3k + 1 bonbons. Alors Anna devra enlever 3k + 2 bonbons, à son tour, et retrouver ainsi une situation à 3k + 2.
15h01
celem
[…]
Avec 4 bonbons (3k + 1) Marine gagne et Anna atteint 1 ou 2 bonbons.
Avec 5 bonbons (3k + 2) Anna gagne et Marine atteint 1, 2 ou 4 bonbons.
[…]
19h19
1er défi
Si il il reste \(1\) Anna a perdu.
Si il il reste \(2\) Anna a gagné car elle peut retirer \(3*0+2\)
Si il reste \(3\) Anna a gagné car elle peut retirer \(3*1\)
Si il reste \(4\) Anna a perdu car:
– en retirant \(2\) Anna permet à Marine de retirer \(1\) et il restera \(1\) que Anna ne pourra pas retirer
– en retirant \(3\) Anna permet à Marine de retirer \(1\) qui finit.
Marine peut soustraire au maximum \(100\) tandis que Anna peut soustraire au maximum \(101\): il faut donc que Anna laisse à Marine \(102\).
En effet:
– si Marine soustrait n’importe quel nombre de la forme \(3*k\) qui vaut au maximum \(99\), Anna n’a qu’à soustraire le multiple de \(3\) complémentaire à \(102\) pour gagner puisque \(102\) est un multiple de \(3\).
– si Marine soustrait n’importe quel nombre de la forme \(3*k+1\), Anna n’a qu’à soustraire le complémentaire à \(102\) de la forme \(3*k+2\). Exemple, si Marine soustrait \(3*16+1=49\), il suffit à Anna de soustraire \(53=17*3+2\).
La somme de deux soustractions consécutives de Marine puis de Anna peut donc toujours faire \(102\).
\(1001=102*9+83\) et par chance \(83=27*3+2\).
Le premier coup à jouer de Anna est de soustraire \(83\).
19h22
Puis de toujours soustraire le complémentaire à 102 de ce que Marine a soustrait.
20h26
1er défi
Anna gagne mais n’est-ce pas une victoire à la Pyrrhus. En prenant à chaque fois 100 bonbons, Marine acquiert un capital de 900 bonbons alors que Anna capitalise à la fin seulement 101 bonbons !
8h22
2e défi
0=4-(4×4)/4
1=(4×4)/(4×4)
2=(4/4)+(4/4)
3=(4+4+4)/4
4=4(4-4)+4
5=(4+(4×4))/4
8h36
2e défi
\(0 = 4 – \frac{4 \times 4}{4} \), \(1 = \frac{4 + 4 – 4}{4} \),
\(2 = 4 – \frac{4 + 4}{4} \), \(3 = \frac{4 \times 4 – 4}{4} \),
\(4 = 4 + \frac{4 – 4}{4} \), \(5 = \frac{4 \times 4 + 4}{4} \)
7h52
3e défi
La première et la dernière croix donnent chacune 9 côtés de 1cm et les 18 croix intermédiaires donnent chacune 6 côtés de 1cm, soit en tout:
N=2×9+18×6=126
Donc le périmètre cherché vaut 126 cm
8h15
4e défi
3d=a puis 3d=e –> d>3
Soit d=4 –> a=2 (et il reste 1)
3×4+1=e–> e=3 (et il reste 1)
–> 3b+1=8 –> b=9 (et il reste 2)
et finalement 3d+2=fd –> f=1
3(dbdd)=fd8ea
3(4944)=14832
8h42
4e défi
On a \(3D \geq 10 \) car sinon on aurait \(A = 3D = E \), d’où \(D \geq 4 \).
Dans la colonne des centaines on ne peut pas avoir \(3B = 8 \) donc il y a forcément une retenue \( m \geq 1\) à rajouter dans la colonne des milliers, et de plus \(m \leq 2\) car dans une addition de \(n\) nombres les retenues ne dépassent jamais \(n-1\). Donc \(D\) est le dernier chiffre de \(3D+m\). Or :
\(3 \times 5 + 1 = 16 \)
\(3 \times 5 + 2 = 17 \)
\(3 \times 6 + 1 = 19 \)
\(3 \times 6 + 2 = 20 \)
\(3 \times 7 + 1 = 22 \)
\(3 \times 7 + 2 = 23 \)
\(3 \times 8 + 1 = 25 \)
\(3 \times 8 + 2 = 26 \)
En fait les seules possibilités sont \(3 \times 4 + 2 = 14 \) et \(3 \times 9 + 2 = 29 \) donc \(m = 2 \), et \(D = 4 \) ou \(D = 9 \).
Mais \(D = 9 \) ne convient pas car on ajouterait la même retenue \(m = 2\) à la colonne des dizaines, ce qui donnerait \(E = 9 = D \).
Donc \(D = 4\) et on en déduit \(A = 2\), \(E = 3\), \(F = 1\).
La somme est donc \(14832\).