Premier défi : le problème du mois
La figure de noire ci-dessous est composée d’un disque et d’un rectangle. Les unités sont en centimètres. Quelle est son aire?
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
17h38
L’aire du disque vaut \(4\pi\), celle du rectangle \(10\). Il faut calculer l’aire de leur intersection.
Soit \(O\) le centre du cercle, \(A\) le point où le ce rectangle est tangent au cercle, \(B\) l’autre point d’intersection, \(H\) le point d’intersection du rectangle avec \(OA\) autre que \(A\) et enfin \(\alpha\) l’angle \(\widehat{AOB}\).
On a \(\cos\alpha = \frac{1}{2}\) donc \(\alpha = \frac {\pi} {3}\). La portion de cercle déterminée par \(OAB\) a pour aire \(\frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}\).
L’aire du triangle \(OHB\) vaut \(\frac{OH.HB}{2} = \sin\alpha = \frac{\sqrt 3}{2}\).
L’intersection du disque avec le rectangle a donc pour aire \(\frac{2\pi}{3} – \frac{\sqrt 3}{2}\).
L’aire de la figure vaut donc \(4\pi +10 -\frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt 3}{2} \approx 21,34\) cm².