Des cartes, des gosses et des bonnets

Peut on raconter la géométrie différentielle aux gosses ? Pas sûr. Mais il y a des gens qui, mis dans cette situation, ne s’en sortent pas mal. Patrick Massot est de ceux là. Voilà une transcription de sa prestation très vivante devant un public d’environ 200 collégiens, lors du Congrès MATh.en.JEANS, à Orsay, le 5 avril 2013.

Mon matériel de géométrie : règle, compas (bof, c’est banal), ballon, bouée, une vraie selle d’équitation (seules deux universités en France disposent d’un centre équestre ; l’université Paris-Sud est l’une d’entre elles, quelle est l’autre ?). Etonnement dans la salle. Rassurez-vous, il y aura des formules dans l’exposé, et principalement celle-là. Et Massot de montrer une formule parfaitement ésotérique qui remplit une diapo entière.

1. Triangles

Je vais rendre visite à ma collègue Dusa McDuff à New York, une mathématicienne très forte (elle lève les tableaux noirs d’un seul bras sans effort). Je prends l’avion. La route que l’avion va suivre, elle est facile à deviner sur une mappemonde, c’est un arc de grand cercle. Sur le planisphère, cela donne une trajectoire courbe. On le voit sur le petit écran de télé dans l’avion. On vit à la surface d’une sphère, et non dans un plan, cela se sent.

Est-ce que l’avion vole droit ? Qu’est ce que cela veut dire ? Rouleau de scotch, j’applique la bande de scotch sur le ballon (il me faut un assistant pour cela), elle suit un grand cercle. Donc oui, l’avion vole droit. Pensons à sa trajectoire comme à un segment tracé sur le ballon. J’en place 3 pour former un triangle (il me faut deux autres assistants pour cela).

C’est quoi la somme des angles d’un triangle ? La salle répond unanimement 180°. Vous êtes sûrs ? Et ce triangle là, sur le ballon ? Les angles ont l’air droits. 90°+90°+90°=270°. Ça ne colle pas. Est-ce pareil pour tous les triangles ?

Mes collègues Mohammed Abouzaid (New York), Kathrin Wehrheim (Boston) et Iosif Polterovich (Montréal) forment un triangle dont la somme des angles fait presque 180°. C’est parce que le triangle est beaucoup plus petit.

Je m’assieds sur le ballon. Il s’aplatit. Sous mes fesses, il est preque tout plat, on peut penser que la géométrie y est comme dans le plan, mais là où il se courbe beaucoup, ça doit être différent. Je voudrais mesurer cette différence, cette déviation par rapport à la géométrie euclidienn

2. Périmètres

Le périmètre d’un cercle de rayon \(r\), c’est combien ? \(2\pi \,r\), répond unanimement la salle.

Voici 2 disques à coller sur le ballon et sur la selle. Là, il me faut 4 assistants (des mains se lèvent frénétiquement). Essayez de ne pas faire de plis. Ça rebique, là. Et là, ce n’est pas collé du tout, alors je découpe un peu le disque. Etalez! Que voyez vous ? Sur le ballon, les assistants ont dû faire des plis. Le disque à l’air trop grand. Sur la selle, j’ai dû couper, le disque était trop petit. Retournez à votre place, sans emporter la télécommande.

Je voudrais mesurer la déviation autour d’un point. Voici un tableau de valeurs numériques. Le ballon fait 25cm de rayon. Pour des rayons de disque de 12.5cm, 7.5cm, 2,5cm, 0,25cm, j’ai mesuré le périmètre sur le ballon, et je le compare avec le périmètre d’un disque de même rayon dans le plan.
Plus le cercle est petit, plus l’erreur est petite, je suis déçu. Pour voir quelque chose se dégager, il faut un microscope : il faut comparer l’écart à l’aire du disque, diviser l’écart par l’aire fois le rayon. J’ajoute une colonne à mon tableau dans laquelle je mets, pour chaque rayon de disque,

3 (périmètre sur le plan – périmètre sur le ballon)/(aire du disque)(rayon du disque)

Pour un rayon de 0,25cm, je trouve 0.0016. C’est ce nombre qu’on appelle la courbure, noté \(K\). Pour une sphère de rayon \(R\), c’est \(\frac{1}{R^2}\). Lorsque \(R=\)25cm, ça fait 0.0016.

La formule mystérieuse, c’est, dans des notations plus concises,

\[\int \int K\, dA = 2\pi (S-A+F).\]

Cela s’appelle le Théorème de Gauss-Bonnet.

Regardons la bouée : les cercles sont ils plus courts ou plus longs que \(2\pi \,r\) ? La salle hésite, murmure. Ça dépend où ? Je peux m’asseoir dans la bouée, il y a une sorte de selle (Massot s’exécute, sans tomber), par là les cercles doivent être plus longs. Mais si je pose la bouée par terre, là où ça touche, les cercles doivent être plus courts. A votre avis, y a-t-il davantage de points où les cercles sont plus longs, ou de points où les cercles sont plus courts ? De courbure négative ou de courbure positive ? Remue-ménage dans la salle, avis manifestement divergents. On passe au vote. Peu de gens osent s’exprimer. Bon, j’ai quelques voix pour, quelques voix contre, il va falloir arbitrer.

Pour le ballon, la quantité totale de courbure \(K \times\) aire est indépendante du rayon. Le théorème de Gauss-Bonnet dit que la quantité totale de courbure ne change pas même si on déforme le ballon. Et pour la bouée : la quantité totale de courbure vaut 0, autant de + que de -. Donc tout ceux qui ont voté avaient raison.

Pour la bouée romantique à 2 places, la quantité totale de courbure \(K \times\) aire vaut \(-4\pi\). Pour la bouée familiale à \(g\) places (ça se vend sur internet, ce genre de bouées), c’est \(2\pi(2-2g)\).

3. Polyèdres

Descartes 1620, ce sera un acteur majeur de vos cours de maths, physique, philosophie au lycée. En 1620, Descartes trouve un joli théorème sur les polyèdres, mais ne le publie pas, ni dans un livre, ni dans son blog.

En 1650, il prend froid en Suède et meurt, ses papiers sont mis dans une malle, envoyée en France, elle tombe dans la Seine, mais est repêchée, le contenu est entreposé dans les caves de l’Institut.

En 1675, Leibniz vient à Paris, il trouve le texte de Descartes, le copie à la main, mais ne le publie pas. Il meurt en 1716. C’est par ses papiers, conservés, qu’on a connaissance du théorème de Descartes.

En 1848, Pierre-Ossian Bonnet publie le théorème de Gauss-Bonnet. On va voir qu’il y a un lien avec le théorème de Descartes.

Un polyèdre, en voilà un, une caisse en carton. Je trace un petit cercle de rayon \(r\) sur le polyèdre. Le centre est au milieu d’une face, quel est le périmètre ? Il me faut un assistant (des mains se lèvent), prends le compas, je tiens la pointe, tu traces. Réponse : \(2\pi \,r\). Le centre est au milieu d’une arête, quel est le périmètre ? Il me faut un autre assistant (ça s’agite dans tout l’amphi). Pareil, \(2\pi \,r\). Le centre est sur un sommet ? Il me faut encore un autre assistant (autour de moi, c’est l’émeute). On trouve \(3/4 \times 2\pi \,r\). Public ébahi, rumeur. La formule générale est

\[\frac{2\pi}{360°} \times \text{(somme des angles)} \times r. \]

Descartes décide que la courbure d’un sommet vaut

\[2\pi – \frac{2\pi}{360°}\times \text{(somme des angles)},\]

de telle sorte que la courbure donne la déviation entre le périmètre des cercles sur le polyèdre et dans le plan. Pour la caisse en forme de parallélépipède, chaque sommet a la même courbure \(\pi/2\).

Descartes affirme que si on peut gonfler un polyèdre pour obtenir une sphère, alors la somme des courbures vaut \(4\pi\). Si le polyèdre se gonfle en bouée à \(g\) places, la somme des courbures des sommets vaut \(2\pi(2-2g)\). Autrement dit, la formule de Descartes est la forme dégonflée de la formule de Gauss-Bonnet.

Pourquoi la formule de Descartes est elle vraie ? La somme des angles d’un polygone plan à \(n\) côtés vaut \((n-2) \times 180^0\). Au tableau : il suffit de découper le polygone en triangles. Ça n’a l’air de rien, mais c’est quelque chose de très surprenant, ce théorème. Celui de Descartes, c’est une version boostée à l’EPO de la somme des angles d’un triangle.

En comptant soigneusement, on additionne les angles des faces, et on trouve que la somme des courbures vaut \(2\pi (S-A+F)\), où \(S\) est le nombre de sommets, \(A\) le nombre d’arêtes et \(F\) le nombre de faces. Le fait que \(S-A+F\) fasse 2 pour tout polyèdre qui se gonfle en une sphère est attribué à Leonhard Euler. Un mot sur la preuve. Partons d’une muraille qui ceinture une ville médiévale : le nombre de murs est toujours égal au nombre de tours. En effet, ajouter une tour ne change pas la différence nombre de murs – nombre de tours. Vérifiez la formule d’Euler sur un ballon de football. Sur un polyèdre bouée. Vérifiez qu’ajouter des arêtes et des sommets ne change pas \(S-A+F\). C’est à votre portée, c’est un défi.

4. La courbure nulle ?

Sur la bouée, il y a autant de + que de -. Est-ce qu’on peut déformer la bouée pour que la courbure soit nulle partout ? Vote. Avis partagés. Je vous explique qu’on ne peut pas, puis, ensuite, je vous expliquerai qu’on peut.

Il y a toujours au moins un point où la courbure est positive. En effet, je mets la bouée déformée dans une grande bulle de savon qui rétrécit jusqu’à toucher, je prends une photo (car la bulle éclate). Les petits cercles de la bouée sont à l’intérieur, ils sont plus courts que ceux de la bulle, donc plus courts que des cercles euclidiens. Donc la courbure est positive. Si vous avez voté non, vous avez raison.

En 1954, John Nash a vu que si on froisse la bouée, on peut obtenir la courbure nulle partout. Il est devenu fou ensuite, il s’est un peu remis depuis, mais fini les maths pour lui. En 1970, Gromov, plus futé que les lecteurs précédents, adapte l’idée de Nash et résout plein de problèmes inattendus, mais les gens comprennent très mal tout ça. En 2007, Vincent Borelli comprend suffisamment Gromov et se convainc qu’on doit pouvoir dessiner la bouée froissée de Nash. En 2008, il recrute 4 informaticiens et numériciens, et, après 4 ans de travail acharné, en 2012, ils produisent le dessin que voilà. On voit des vagues, avec de petites vagues dessus. On zoome, et à toutes les échelles, le même motif. En voici une animation (saisissante). Donc ceux qui avaient voté oui ont raison aussi. Quand il y a trop de petites vagues, le raisonnement que j’ai fait tout à l’heure ne tient pas.

En conclusion, l’histoire de la courbure est ancienne, elle vit toujours, de façon sensationnelle, aujourd’hui.

5. Questions

Question : si on continuait à zoomer, on verrait toujours des vagues ?
Non, l’image que je vous ai montrée ne comprend qu’un nombre limité de pixels. Mais l’objet théorique comporte une infinité d’étapes.

Question : est-ce qu’on peut comprendre le principe du dessin de Borelli ?
Un étudiant, 4 ans après le bac, le pourrait. Ce n’était pas le cas pour les travaux de Nash et Gromov.

Question : le tableau de valeurs numériques, d’où sort il ?
J’ai triché, je n’ai pas fait de mesures, j’ai utilisé une formule qui donne le périmètre des disques sur un ballon.

Question : Monsieur, pouvez-vous montrer la formule à nouveau, je veux la recopier ?

6. Envoi

On a vu passer les cartes et les gosses, mais où sont les bonnets ? Le week end du Congrès MATh.en.JEANS, les nuits étaient froides à Orsay, belle gelée. En avril, ne te découvre pas d’un fil !