Des surfaces cubiques en DVD

La géométrie algébrique, comme son nom l’indique, s’intéresse à des objets qui sont à la fois algébriques et géométriques. Par l’emploi de coordonnées cartésiennes \(x,y\) dans le plan, toute équation en les deux inconnues \(x,y\) définit une courbe : l’ensemble des points dont les coordonnées satisfont à l’équation. Par exemple, une équation du premier degré

\[
ax+by=c
\]

définit une droite. Lorsque les coefficients \(a,b,c\) varient, la droite bouge. Lorsqu’on passe au second degré

\[
ax^2+ bxy+cy^2+dx+ey+f=0
\]

on entre dans le monde des coniques : ellipses, hyperboles, paraboles (Voir aussi cet article)

Bien sûr, on peut augmenter le degré et les géomètres algébristes ne s’en sont pas privés ! (Voir: l’Encyclopédie des courbes)

On peut également augmenter la dimension et se placer dans l’espace de coordonnées \(x,y,z\). Une équation du premier degré définit un plan. Une équation du second degré définit une quadrique.

On examine ensuite les équations du troisième degré dans l’espace :

\[
\begin{equation}
\begin{split}
ax^3+by^3+cz^3+dx^2y+ex^2z+fxy^2+gxz^2+hy^2z+iyz^2+ \\
jxyz+kx^2+ly^2+mz^2+oxy+pyz+qxz+rx+sy+tz+u=0.
\end{split}
\end{equation}
\]

La forme de la surface dépend du choix des 21 coefficients \(a,b,c,..,u\). Lorsqu’on les fait varier la surface cubique varie. Parfois, pour certaines valeurs des coefficients, la surface devient singulière et de jolies structures apparaissent… C’est un monde (de dimension 21 !) qu’il s’agit d’explorer.

Parmi les nombreuses propriétés de ces surfaces, on montre qu’elles contiennent toujours (lorsqu’elles n’ont pas de point singulier) vingt-sept droites (qui peuvent cependant être imaginaires). En voici un exemple .

Ces surfaces cubiques ont toujours été au centre de la géométrie algébrique en servant d’exemples à la fois simples et riches. Aujourd’hui encore, des travaux remarquables analysent l’aspect arithmétique de ces surfaces (typiquement, on suppose que les coefficients sont des nombres rationnels et on cherche à trouver des solutions à l’équation dont les coordonnées sont rationnelles).

David Madore a créé un DVD téléchargeable sur lequel on trouve pas moins de 54 (deux fois 27 !) animations de surfaces cubiques.

Les animations, qui sont parfois de simples rotations mais aussi des déformations plus compliquées, ont toutes été réalisées avec le logiciel Povray (Persistence of Vision Raytracer). Il est également possible de télécharger les fichiers sources Povray, une excellente occasion d’expérimenter et de jouer avec ce logiciel… et ces surfaces !

Pour en savoir un peu plus : http://www.mathcurve.com/surfaces/c…

…et beaucoup plus (en anglais) : http://www.math.rutgers.edu/courses…

Pour voir un exemple d’un article récent de D. Madore sur le sujet des (hyper)-surfaces cubiques (attention ! il s’agit d’un texte de recherche destiné à des spécialistes !) : http://arxiv1.library.cornell.edu/p…