Deux questions à propos des mouches bioniques.
Non, il n’est pas trop tard pour remettre ses méninges en ordre de marche avant la rentrée scolaire. Et comme l’été, il n’y a pas que des papillons, mais aussi des mouches -que nous prendrons ici bioniques-, voici deux questions concernant ces insectes horripilants et infatigables que sont les mouches.
- La première.
Une mouche bionique vole à \(3\) mètres par seconde. A quelle vitesse vole-t-elle en kilomètres par heure ?
- Et la deuxième.
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La distance Paris-Marseille est évaluée à \(720\) km. Deux trains TGV partent à \(10\)h, le premier de Paris vers Marseille, le second de Marseille vers Paris. Tous deux roulent à une vitesse moyenne de \(360\) km/h. Une mouche bionique installée à \(10h\) sur la motrice du premier train part en direction du second à la vitesse de \(720\) km/h. Elle fait demi tour quand elle rencontre le deuxième train et repart vers le premier, ainsi de suite jusqu’à ce qu’elle se fasse écraser quand les deux trains se croisent.
D’où la question qui fait mouche : quelle distance la mouche aura-t-elle parcouru ? En combien de temps ?
Et enfin, plus difficile, accessible à un niveau de fin de terminale scientifique : on note \(d_i\) la distance parcourue par la mouche la \(i\)-ème fois que la mouche rencontre un train. Donner \(d_i\) en fonction de \(i\) et retrouver la réponse précédente.
Signalons tout de suite que cette deuxième question n’est pas de moi, ni même tirée d’un dessin animé de Tex Avery (ce qui est dommage), mais d’un énoncé de devoir maison, comme on dit, posté sur la toile par une élève de terminale scientifique désemparée devant cette mouche bionique et qui appelait au secours pour avoir une solution. Mais, comme me l’a indiqué Etienne Ghys, il s’agit d’une énigme bien connue, et qu’aurait résolue de façon spectaculairement rapide le mathématicien von Neumann 3A l’époque, les trains ne roulaient pas à grande vitesse, de sorte que la mouche n’avait pas besoin d’être bionique.. Que notre élève se rassure donc, elle est en bonne compagnie !
Le robot mouche Octave
Signalons enfin que les mouches bioniques existent bel et bien et que des chercheurs français en ont construit des prototypes 4Ces prototypes font même l’objet de brevets. Comme la formulation de l’article du journal du CNRS est un peu ambiguë sur ce point, rappelons que si on peut breveter un robot, la science, elle, n’est pas brevetable, du moins pas encore., comme le robot Octave, spécialisé dans la vision, dont la photographie est reproduite ci-dessus et qui vole à la vitesse de \(3\) mètres par seconde. La mouche bionique qui vole à \(720\) km/h reste encore à inventer.
Post-scriptum
Je remercie Etienne Ghys pour ses informations concernant cette énigme, qui m’était, je dois le dire, inconnue.
ÉCRIT PAR
Christine Huyghe
Directeur de Recherche CNRS - l'Université de Franche-Comté (Besançon)
9h29
Ce problème est effectivement un classique des jeux mathématiques. Il figure page 55 dans le livre de G. Gamow et M. Stern « Jeux Mathématiques » publié en 1959 chez Dunod (mon premier livre non scolaire de mathématiques).
Le problème y est présenté sous le nom du « problème du bourdon ». A cette époque les trains roulaient à 80 km/h, les gares distantes de 160 km et le bourdon volait à 100 km/h.
Dans l’exposé de la solution, il y est fait allusion au fait que Von Neumann l’aurait résolu en quelques secondes par le calcul de la série infinie.
8h55
J’avais oublié les solutions !!!
Question 1 : si la mouche bionique parcourt 3 m en une seconde, en une heure elle aura parcouru 3×3600 = 10800 m. Elle vole donc à 10,8 km/h
Question 2 : les 2 TGV roulant à 360 km/h, leur vitesse relative est de 720 km/h. Ils se rencontreront donc au bout d’une heure et la mouche aura alors parcouru 720 km.
Le régulateur de la SNCF, toujours pragmatique et qui n’est pas mathématicien, prend son graphique de marche des trains (le temps en abscisse et les distances en ordonnée) et trouve instantanément où et quand les deux TGV se croisent et en déduit facilement la distance parcourue par cette mouche bionique.
Question 3 : je n’ai pas pratiqué les séries infinies depuis plus de 40 ans. Je laisse donc l’honneur à quelqu’un d’autre de nous donner la solution. Et puis pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple !
10h18
J’ai profité d’une journée de vacances « volée » à mon emploi du temps pour m’amuser de ces mouches.
Il faudrait faire l’expérience avec la variante de l’exercice qui aurait consisté à poser les deux questions dans l’ordre inverse : 1/ Combien de temps a volé la mouche ? 2/ Quelle distance a-t-elle parcouru ?
Cela dit, si la mouche, même bionique, se fait écraser par les deux trains lorsqu’ils se croisent, c’est qu’ils roulent sur la même voie… « Aucun animal n’a été maltraité durant la résolution de cet exercice… »
13h01
Bonjour,
je viens de publier (juste pour le plaisir) une solution détaillée au problème du bourdon, revisité par mes soins.
C’est par ici : http://goutte-de-science.net/blog/le-probleme-du-bourdon-revisite/
Avis aux lecteurs intéressés, il y a deux questions subsidiaires, tout à la fin de l’article 😉