Entretien avec Ella Blair et Claude Viterbo

Adrien Rossille : Avant d’entrer dans les détails de la topologie de contact et de la topologie symplectique, qu’est-ce que, plus globalement, la topologie ?

Ella Blair : La topologie est la discipline des mathématiques qui permet de s’intéresser à la forme et à la structure des objets à une déformation près. Elle étudie les propriétés d’objets géométriques lorsque l’on fait un certain type de déformation : les déformations continues, c’est-à-dire celles qui ne font ni arrachage ni recollement. Quelles propriétés de l’objet résistent à cette déformation ? Étant donné deux objets, l’un peut-il être déformé continûment en l’autre ? Si ce n’est pas le cas, pourquoi ? L’exemple classique est celui de la tasse de café, qui peut être continûment déformée en un tore plein, c’est à dire un beignet. Plus généralement, toute surface d’un seul morceau sans bords peut être déformée en une bouée avec un certain nombre de trous, ce nombre de trous étant le « genre » de la surface.

Claude Viterbo : La topologie permet aussi de s’intéresser aux propriétés robustes par petites déformations. C’est intéressant par exemple dans le cadre de prévisions météorologiques : les prévisions qui sont établies doivent ne pas être trop sensibles à de petites variations de mesures à l’échelon local, étant donné que l’objectif est de fournir une cartographie globale stable de la météorologie à un temps donné.

Ella Blair, je crois que vous situez vos recherches plutôt côté topologie de contact, et vous Claude Viterbo, plutôt côté topologie symplectique. Pouvez-vous chacune et chacun définir votre domaine de prédilection ?

Ella Blair : En topologie de contact, on s’intéresse plus particulièrement à des objets de dimension impaire, munis d’une structure supplémentaire : une structure de contact. A titre d’exemple sur un objet de dimension 3, une structure de contact est la donnée, en chaque point de l’objet, d’un plan qui varie de manière lisse si l’on se déplace dans l’objet et qui localement ressemble à l’image ci-dessous (image de Patrick Massot). Cette structure supplémentaire que l’on demande à l’objet impose que la dimension de celui-ci soit impaire. La topologie de contact ne permet pas d’étudier des objets de dimension paire.

Claude Viterbo : Au contraire, la topologie symplectique s’intéresse exclusivement aux objets de dimension paire. Elle étudie l’effet de transformations symplectiques, c’est-à-dire de transformations qui préservent l’aire algébrique, ainsi que les propriétés de ces transformations. Ces transformations sont apparues naturellement, au moins depuis l’époque de Lagrange et en passant par Hamilton, Jacobi, Poincaré, Cartan, … en étudiant les équations de la mécanique.

Quelles sont les applications des topologies symplectique et de contact dans d’autres domaines scientifiques, par exemple en physique ?

Claude Viterbo : Les équations étudiées dans le cadre de la géométrie symplectique sont par exemple celles qui régissent la mécanique céleste. C’est là un exemple assez parlant d’application directe de la topologie symplectique : pour prédire l’évolution du système solaire, c’est-à-dire l’évolution du mouvement des planètes et plus globalement s’interroger sur la stabilité ou l’instabilité à long terme du système, les équations de la mécanique classique permettent de calculer le comportement du système à l’échelle de quelques dizaines de milliers d’années. L’approche symplectique permet quant à elle d’aller beaucoup plus loin, et de calculer l’évolution du système solaire sur plusieurs millions d’années.

De plus, les équations qui régissent le mouvement de petites particules dans un accélérateur de particules sont de nature similaire à celles de la mécanique céleste, avec bien sûr des échelles spatiales et temporelles très différentes. La géométrie symplectique est donc un outil très important de calcul dans ce cadre aussi, par exemple pour s’assurer que les particules restent aussi longtemps que possible dans l’accélérateur. Outre ces deux exemples, la topologie symplectique possède des applications dans beaucoup d’autres domaines des mathématiques et de la physique : c’est l’une des choses qui me fascinent le plus !

Ella Blair : La géométrie de contact est un outil qui fournit un nouveau formalisme très intéressant dans plusieurs domaines de la physique. A titre d’exemples, on peut citer la thermodynamique, l’optique, ou la mécanique hamiltonienne. Le formalisme de la géométrie de contact sert aussi à formuler d’une manière nouvelle des sujets de recherche dans d’autres domaines, je pense par exemple aux neurosciences et à la neuropsychologie. En tant que mathématicienne, je vois la géométrie de contact comme un cadre théorique très intéressant pour développer de nouveaux outils qui seront par la suite utiles aux chercheuses et chercheurs de toutes ces disciplines.

Comment est-ce que votre parcours scientifique vous a amenés à vous intéresser à ces thématiques de recherche ?

Ella Blair : Lors de mon master de mathématiques à Sorbonne Université, j’ai commencé à avoir un intérêt fort pour la topologie différentielle. Mon stage de première année de master portait sur la théorie des feuilletages, mais je l’ai effectué auprès d’un chercheur qui travaille en géométrie symplectique. Par la suite, différents contacts avec des chercheuses et chercheurs, et certaines lectures d’articles, m’ont amenée à m’intéresser aux nouveaux développements permis par la topologie de contact, et à commencer en 2020 ma thèse dans ce domaine, sous la direction d’Anne Vaugon et de Frédéric Bourgeois.

Claude Viterbo : J’ai rencontré dès le début de ma carrière Daniel Bennequin, l’un des pionniers de la géométrie de contact. Dès ma thèse, sous la direction de François Laudenbach et Ivar Ekeland, je me suis intéressé aux topologies symplectiques et de contact, et j’ai continué dans cette direction pendant toute ma carrière. Ce domaine m’a permis d’étudier des sujets d’une grande diversité : géométrie algébrique réelle, géométrie complexe, dynamique, équations aux dérivées partielles, systèmes hamiltoniens, théorie des faisceaux, …

Avez-vous l’habitude de participer à des événements de vulgarisation ou médiation scientifique pour mettre en valeur vos thématiques de recherche auprès de publics non spécialistes ?

Ella Blair : Lors de mes années d’études en master à Sorbonne Université, j’ai participé à l’organisation du séminaire Aromaths, cycle de conférences de vulgarisation scientifique destinées aux étudiantes et étudiants. J’effectue pendant ma thèse une mission de médiation scientifique à la Maison d’Initiation et de Sensibilisation aux Sciences (MISS) à Orsay. Cette expérience est une très belle découverte, et me permet de voir ce qu’il me plaît de faire, à côté de la recherche, à plus long terme. Par ailleurs depuis le début de ma thèse, j’organise le séminaire Explique-moi, dont le public cible est constitué par les étudiantes et étudiants en mathématiques. Lorsque je donne moi-même un exposé grand public, j’ai plus tendance à expliquer des sujets autres que ceux de mes recherches, car l’enthousiasme de parler de plein de sujets différents prend souvent le dessus ! Je cherche aussi des sujets avec de beaux aspects visuels.

Claude Viterbo : De la même manière, je n’ai pas trop l’habitude de présenter mes propres sujets de recherche lors d’exposés grand public, et préfère dans ce cadre parler d’analyse de données topologiques ou d’esthétique mathématique. Faire une présentation sur la topologie symplectique nécessiterait une longue introduction pour poser le cadre théorique et définir de nombreux termes, et je pense que ce n’est pas une bonne chose à faire dans le cadre d’un exposé de vulgarisation. Ce cadre théorique est un ensemble d’outils dont on ne sait malheureusement pas encore résumer l’apprentissage en quelques mots.

Vous avez tous les deux participé au trimestre de recherche « Symplectic topology, contact topology and interactions » qui s’est tenu à l’Institut Henri Poincaré d’avril à juillet 2021. Quelle expérience avez-vous vécue dans le cadre de ce programme ?