Défi de la semaine
Marie a invité \(17\) amis à sa fête d’anniversaire. Elle a attribué à chacun un nombre de \(2\) à \(18\), le \(1\) étant pour elle. Quand tout le monde danse, elle se rend compte que la somme des numéros dans chaque couple est un carré parfait. Quel est le numéro du partenaire de Marie ?
Solution du 4e défi de janvier 2023
Réponse : 11 et 13.
On a \(2+9=11\) et \(2^2+9=4+9=13\). On va montrer que ce sont en fait les deux seuls nombres premiers qui ont cette forme.
À part pour les deux cas précédents, on a $$2^{2^{2^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{2}}}}}}=2^{2^{m}}$$, où \(m\) est pair.
Supposons que \(m=2k\), avec \(k>0\). Alors on a
$$2^{2^{m}}=2^{2^{2k}}=2^{2^{2}(2^{2k-2})}=(2^{2^{2}})^{2^{2k-2}}=(2^4)^{2^{2k-2}}=16^{2^{2k-2}}.$$
Comme le chiffre des unités de \(16^a\) est un \(6\) pour tout entier \(a\geq 1\), on en déduit que \(2^{2^{m}}=16^{2^{2k-2}}\) se termine par un \(6\), et donc que\(2^{2^{m}}+9\) se termine par un\(5\). Puisque \(2^{2^{m}}+9>5\), il suit que \(2^{2^{m}}+9\) n’est jamais un nombre premier. Ainsi,\(11\) et \(13\) sont les seuls nombres de cette forme à être premiers.
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
9h10
L’invité 18 ne peut danser qu’avec l’invité 7. Ainsi le 2 danse nécessairement avec le14, le 11 avec le 5, le 4 avec le 12, le 13 avec le 3, le 6 avec le 10 et le 15 avec Marie ( le 1).
13h41
Le 15
Il y a 9 couples dont la somme des n° ne peut être que : 4, 9, 16 ou 25.
Le 18 ne peut aller qu’avec le 7
Le 17 ne peut aller qu’avec le 8
Le 16 ne peut aller qu’avec le 9,
Ensuite vient le 15 avec le 1,
Le 14 avec le 2
Le 13 avec le 3
Le 12 avec le 4
Le 11 avec le 5
Le 10 avec le 6