Février 2023 — 3e défi

Défis et énigmes
Écrit par Romain Joly
Publié le 17 février 2023

Défi de la semaine

L’hypoténuse d’un triangle rectangle mesure \(17 cm\) et son périmètre est de \(40 cm\). Quelle est son aire ?

 

Solution du 2e défi de février 2023

Enoncé

La réponse est : \(45 cm^2\).

Les petits carrés sont de côté 1cm, donc celui en haut à droite est de côté \(3 cm\). On en déduit que les deux du bas sont de côté  \(2 cm\)et, enfin, que le grand carré est de côté  \(5 cm\). Le grand rectangle mesure 9cm sur 5cm et son aire est de\(45 cm^2\).

Post-scriptum

Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.

Crédits images

©JROBALLO / Adobestock

ÉCRIT PAR

Romain Joly

Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble

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Commentaires

  1. Al-Louarn
    février 17, 2023
    8h43

    Si les côtés du triangle sont \(a\),\(b\),\(c\), alors son périmètre est \(p=a+b+c\), d’où :
    \(a+b=p-c\)
    \((a+b)^2 = (p-c)^2\)
    \(a^2 + b^2 + 2ab = (p-c)^2\)
    \(2ab = (p-c)^2-(a^2 + b^2)\)
    Si \(c\) est l’hypothénuse alors \(a^2+b^2=c^2\) d’après le théorème de Pythagore, donc :
    \(2ab= (p-c)^2 – c^2=((p-c)-c)((p-c)+c)=(p-2c)p\)
    L’aire du triangle est donc
    \[\frac{ab}{2}=\dfrac{(p-2c)p}{4}=\frac{(40-2\times 17)\times 40}{4}=60\]

  2. ROUX
    février 17, 2023
    9h12

    Les côtés du triangle rectangle sont \(a\), \(b\) et \(c\) où \(c\) est l’hypoténuse.
    \(a^2+b^2=17^2\) par Pythagore.
    \(a+b=40-17=23\) par périmètre.
    \(2ab=23^2-(a^2+b^2)\) par une identité remarquée.
    Comme la surface du triangle rectangle est \(ab/2\) il vient que cette surface est égale à \((23^2-17^2)/4=60\)

  3. gilles Febvrel
    mars 28, 2023
    18h53

    On pouvait également poursuivre le raisonnement et calculer la longueur des 2 côtés de l’angle droit :

    1) données :
    H : l’hypoténuse (= 17 cm),
    P : le périmètre (= 40 cm),
    a et b : les deux autres côtés

    2) calcul de l’aire :
    a² + b² = 17²
    H = 40 – (a + b)
    17 = 40 – (x + y)
    a + b = 40 – 17
    a + b = 23
    (a + a)² = 23²
    a² + b² + 2ab = 23²
    => système :
    | équation #1 : a² + b² + 2ab = 23²
    | équation #2 : a² + b² = 17²
    équation #1 – équation #2 : 2ab = 23² – 17²
    2ab = 529 – 289
    2ab = 240
    ab = 120
    aire = 120/2 = 60 cm²

    3) calcul de la longueur de a et de b :
    (méthode en passant par une équation du 2e degré)
    ab = 120 = P (produit)
    a + b = 23 = S (somme)
    x² – Sx² + P = 0
    x² – 23x² + 120 = 0
    delta = 23² – 4*1*120 = 529 – 480 = 49
    sqrt(49) = 7
    x’ = (-(-23) + 7)/2 = 30/2 = 15 = a
    x » = (-(-23) – 7)/2 = 16/2 = 8 = b
    ab = 120 = 15*8
    a + b = 23 = 15 + 8

    4) vérification :
    sqrt(8² + 15²) = sqrt(289) = 17 <--- Ok ! :-))