Figure sans paroles #10.14

Commentaires

1. Reine

   mars 28, 2024
   13h23

   Comme la précédente (la Figure sans Paroles 10.13), cette configuration est un cas particulier d’une situation plus générale, que l’on pourrait appeler la tourniquette [1] pascalienne. Étant donnés un cercle \(\Gamma\) et trois points alignés\(\,\) H\(_1\), H\(_2\) et H\(_3\) non situés sur \(\Gamma\), si l’on part d’un point quelconque P de \(\Gamma\) pour construire successivement
   \(\hskip 5mm\)le point Q où la droite PH\(_1\) recoupe \(\Gamma\),
   \(\hskip 5mm\)le point R où QH\(_2\) recoupe \(\Gamma\),
   \(\hskip 5mm\)le point S où RH\(_3\) recoupe \(\Gamma\),
   \(\hskip 5mm\)le point T où SH\(_1\) recoupe \(\Gamma\),
   \(\hskip 5mm\)le point U où TH\(_2\) recoupe \(\Gamma\)
   \(\hskip 5mm\)et enfin le point V où UH\(_3\) recoupe \(\Gamma\),
   alors la tourniquette se referme après ces six
   opérations : V = P.

   Il ne s’agit là que d’une reformulation du théorème de Pascal sur les intersections des côtés opposés de l’hexagone PQRSTU inscrit dans un cercle : PQ et ST se coupant en H\(_1\) et QR et TU en H\(_2\), la droite UP doit rencontrer RS en un point aligné avec H\(_1\) et H\(_2\), c’est-à-dire à l’intersection H\(_3\) de RS et H\(_1\)H\(_2\).

   Pour voir le lien avec notre figure, considérons ce que l’on pourrait appeler le centre radical\(\,\) d’un faisceau de cercles F et d’un cercle \(\Gamma\) n’appartenant pas à ce faisceau. Si C est un cercle du faisceau F, l’axe radical de C et \(\Gamma\) rencontre l’axe radical de F en un point H qui a d’une part même puissance par rapport à C et \(\Gamma\) et d’autre part même puissance par rapport à tous les cercles de F ; c’est donc l’unique point ayant même puissance par rapport à \(\Gamma\) et à tous les cercles du faisceau. Si maintenant P est un point de \(\Gamma\), l’unique cercle C\(_P\) du faisceau F passant par P recoupe \(\Gamma\) en un point Q aligné avec P et H, puisque H doit se trouver sur l’axe radical PQ de C\(_P\) et \(\Gamma\).

   Ceci permet d’identifier deux sortes de tourniquettes. Se donnant trois faisceaux F\(_1\), F\(_2\) et F\(_3\) et un cercle \(\Gamma\) n’appartenant à aucun des trois, on peut définir une tourniquette sur \(\Gamma\) : partant d’un point P de \(\Gamma\), le cercle de F\(_1\) passant par P recoupe \(\Gamma\) en un point Q, le cercle de F\(_2\) passant par Q recoupe \(\Gamma\) en R, le cercle de F\(_3\) passant par R recoupe \(\Gamma\) en S, et on recommence avec F\(_1\), etc. Le paragraphe précédent ramène cette construction à la tourniquette pascalienne définie sur \(\Gamma\) à l’aide des centres radicaux H\(_1\), H\(_2\) et H\(_3\) de \(\Gamma\) avec les trois faisceaux. En conséquence, vu le premier paragraphe, s’il se trouve que ces trois centres sont alignés, la tourniquette se referme en six étapes.

   Une condition suffisante [2] pour que les trois centres soient alignés est que les trois faisceaux aient un cercle en commun. Si en effet un même cercle C appartient à la fois à F\(_1\), F\(_2\) et F\(_3\), les trois centres radicaux, ayant chacun même puissance par rapport à \(\Gamma\) et à C, sont tous trois situés sur l’axe radical de \(\Gamma\) et C. C’est cette situation qui est illustrée ici (et dans la figure précédente), où sont tracés en traits pleins un triangle IJK et un cercle \(\Gamma\) ; les faisceaux ont pour points de base J et K, K et I, I et J, et leurs cercles sont tracés en pointillés. Le cercle circonscrit au triangle IJK est commun aux trois faisceaux, d’où l’alignement des centres radicaux.

   [1] J’emprunte ce charmant vocable à Sidonie, Figure sans Paroles 10.2.

   [2]Elle est très loin d’être nécessaire. Si I, J, K et L sont quatre points non cocycliques, les faisceaux F\(_1\) à points de base I et J et F\(_2\) à points de base K et L n’ont aucun cercle commun, et si \(\Gamma\) est n’importe quel cercle du plan et H\(_3\) n’importe quel point aligné avec les centres radicaux H\(_1\) et H\(_2\), il existe d’innombrables faisceaux F\(_3\) ayant H\(_3\) pour centre radical avec \(\Gamma\).

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