Figure sans paroles #10.6

Figure sans paroles
Écrit par Arseniy Akopyan
Publié le 29 janvier 2024

ÉCRIT PAR

Arseniy Akopyan

Chercheur - Institute of Science and Technology (Autriche)

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Commentaires

  1. Reine
    février 3, 2024
    12h16

    Cette figure-ci illustre la propriété suivante : en appelant S\(_1\), S\(_2\) et S\(_3\) les symétries par rapport à trois droites concourantes D\(_1\), D\(_2\) et D\(_3\), si l’on effectue successivement les six transformations S\(_1\), S\(_2\), S\(_3\) et à nouveau S\(_1\), S\(_2\), puis S\(_3\), on obtient la transformation identique : chaque point (et chaque droite, c’est le cas ici) revient à sa position initiale.

    La vérification est facile : soit O le point commun aux trois droites. Effectuer S\(_1\) suivie de S\(_2\) revient à faire la rotation de centre O et d’angle 2\(\,\)(D\(_1,\,\)D\(_2\)). [1] Effectuer les six symétries se ramène donc à la rotation de centre O et d’angle le double de (D\(_1,\,\)D\(_2\)) + (D\(_3,\,\)D\(_1\)) + (D\(_2,\,\)D\(_3\)), c’est-à-dire de l’angle nul.

    [1] L’angle orienté de droites (\(D_1\),\(D_2\)) n’est défini qu’à un multiple de π près ; mais son double, défini, lui, à un multiple de 2π près, caractérise bien une rotation.

  2. Reine
    février 4, 2024
    6h55

    L’argument ci-dessus, pour bref qu’il soit, est néanmoins quantitatif, reposant sur une addition. Il est possible de lui substituer un raisonnement purement qualitatif.

    Si un point M est animé d’un mouvement circulaire uniforme autour du centre O, son image par S1 décrit le même cercle, à la même vitesse, mais en sens inverse. Lui faisant ensuite subir \(S_2\) puis \(S_3\), on récupère, après deux nouveaux changements de sens, un mobile N de même vitesse uniforme et en sens contraire de M. Ces deux mobiles doivent se croiser quelque part ; il existe donc une droite passant par O et invariante après la succession des trois symétries. Les points M et N restent symétriques par rapport à cette droite, et ceci s’étend à tout le plan : la composée des trois symétries est elle-même une symétrie, S par rapport à une certaine droite (qu’il serait facile de caractériser, mais ce n’est pas utile). Et, bien sûr, réitérer la triple transformation revient à effectuer deux fois S, et l’on retombe sur l’identité.