Figure sans paroles #10.8

Figure sans paroles
Écrit par Arseniy Akopyan
Publié le 12 février 2024

ÉCRIT PAR

Arseniy Akopyan

Chercheur - Institute of Science and Technology (Autriche)

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Commentaires

  1. Reine
    février 21, 2024
    10h39

    Encore une tourniquette ! Elle reprend la Figure sans Paroles 6.8.12, en mettant l’accent sur le fait que la ronde se termine au bout de six cercles. Ce point n’y ayant pas été soulevé, c’est l’occasion d’y revenir plus explicitement, en repartant à zéro.

    On se donne trois cordes AA’, BB’ et CC’ d’un cercle L. Appelons F (respectivement G, H) le faisceau des cercles passant par A et A’ (respectivement B et B’, C et C’) et introduisons le triangle IJK, où I (respectivement J, K) est l’intersection des droites BB’ et CC’ (respectivement CC’ et AA’, AA’ et BB’), les sommets I, J et K étant supposés extérieurs à L. La puissance de K par rapport à L est aussi sa puissance par rapport à tous les cercles de F (car il est sur l’axe radical de ce faisceau) ainsi qu’à tous ceux de G (même raison) ; le cercle k de centre K et orthogonal à L (en vert sur la figure jointe) est donc aussi orthogonal à tous les cercles de F et de G ; toute tangente menée de K à n’importe lequel de ces cercles aura son point de contact sur ce cercle vert. On a de même des cercles verts i et j centrés en I et J.

    Partant d’un cercle \(\Gamma_0\) de F (non représenté sur la figure), la tourniquette consiste en une suite de cercles chacun tangent au précédent, \(\Gamma_1\) étant pris dans G, \(\Gamma_2\) dans H, puis \(\Gamma_3\) à nouveau dans F, etc. La tangente commune à \(\Gamma_0\) et \(\Gamma_1\) est aussi leur axe radical et passe donc par K, c’est pourquoi leur point de contact\(\,\) P se trouve sur\(\,\) k. Le contact suivant, Q, est sur i, puis R est sur j, et le quatrième S est à nouveau sur k. Le cercle (en pointillés) passant par P et S et orthogonal à k forme avec \(\Gamma_1\), \(\Gamma_2\) et \(\Gamma_3\) une chaîne fermée de quatre cercles tangents ; ceci entraîne facilement que les quatre points de contact\(\,\) P, Q, R et\(\,\) S sont cocycliques\(\,\) (voir le commentaire de Hébu sous la Figure sans Paroles 6.8.1).

    Appelons O ce cercle PQRS. Le même argument montre que Q, R, S et T (le cinquième point de contact) sont eux aussi cocycliques, de sorte que T est également sur O ; de proche en proche, les points suivants U, V, etc. sont tous sur ce cercle O. Les trois points P, S et V sont donc communs aux deux cercles O et k ; aussi deux (au moins !) d’entre eux doivent coïncider.

    Si S = P, le cercle \(\Gamma_3\) (circonscrit à AA’S) est le même que \(\Gamma_0\) (circonscrit à AA’P), et la tourniquette se ferme en seulement trois cercles.

    Si V = P, alors \(\Gamma_6\) est le même que \(\Gamma_0\), la tourniquette se terminant en six cercles.

    Si enfin V = S, on a \(\Gamma_6\) = \(\Gamma_3\) et en remontant la chaîne à l’envers on doit aussi avoir \(\Gamma_5\) = \(\Gamma_2\), \(\Gamma_4\) = \(\Gamma_1\) et \(\Gamma_3\) = \(\Gamma_0\) ; là aussi, la tourniquette se boucle en trois chaînons.
    .