Figure sans paroles #10.9

Figure sans paroles
Écrit par Arseniy Akopyan
Publié le 19 février 2024

ÉCRIT PAR

Arseniy Akopyan

Chercheur - Institute of Science and Technology (Autriche)

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Commentaires

  1. Reine
    février 23, 2024
    16h32

    En voilà des cercles ! Neuf en tout, trois en gras et six en pointillés. Plus précisément, on se donne trois points A, B et C, un cercle (gras) \(\alpha\) (respectivement \(\beta\), \(\gamma\)) passant par B et C (respectivement C et A, A et B). Comme dans les Figures sans Paroles précédentes, partant d’un point P sur \(\alpha\), on lance une tourniquette PQRST etc. : Q est le point (autre que A) où le cercle ABP recoupe \(\beta\), R le point (autre que B) où BCQ recoupe \(\gamma\), S est sur CAR et à nouveau sur \(\alpha\), etc. Retombe-t-on au point de départ après seulement six cercles, autrement dit, le septième point V de la tourniquette est-il toujours le point P ?

    Pour s’en assurer, il est tentant de simplifier la figure. Pour changer en droites tous les cercles passant par A, choisissons-le comme pôle d’une inversion. En espérant ne pas créer de confusion, je garde sur le dessin ci-joint les anciens noms \(\alpha\), B, C, P, etc. pour les nouveaux objets, les anciens n’y figurant pas. On y voit deux points B et C sur un cercle \(\alpha\) (le point A ayant naturellement disparu), une droite \(\beta\) passant par C, et une droite \(\gamma\) passant par B. La tourniquette part d’un point P de \(\alpha\), va au point Q de \(\beta\) qui se trouve sur la droite BP, puis en R où le cercle BCQ recoupe \(\gamma\), revient sur le cercle \(\alpha\) au point S situé sur CR, et continue comme précédemment vers \(\beta\) puis \(\gamma\) puis \(\alpha\) en repartant de S au lieu de P.

    Appelons I et J les points où \(\gamma\) et \(\beta\) recoupent \(\alpha\). La chaîne (facile à justifier) d’égalités entre angles orientés de droites (SP,\(\,\)SC) = (BP,\(\,\)BC) = (BQ,\(\,\)BC) = (RQ,\(\,\)RC) = (RQ,\(\,\)SC) montre que QR est parallèle à PS. Semblablement, (IJ,\(\,\)IB) = (CJ,\(\,\)CB) = (CQ,\(\,\)CB) = (RQ,\(\,\)RB) = (RQ,\(\,\)IB) dit que QR est aussi parallèle à IJ. Finalement, on a deux cordes parallèles PS et IJ dans \(\alpha\), et S n’est autre que le symétrique de P par rapport à la médiatrice de IJ. On passe ensuite de S à V par la même symétrie, retombant ainsi sur P.
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  2. Reine
    février 26, 2024
    18h54

    sans inversion
    Voici un autre argument, évitant le recours à l’inversion (mais auquel je ne suis parvenue qu’en utilisant cette inversion). Repartons à zéro. On se donne trois cercles deux-à-deux sécants \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) ; on appelle A (respectivement B, C) l’un des points communs à \(\beta\) et \(\gamma\) (respectivement \(\gamma\) et \(\alpha\), \(\alpha\) et \(\beta\)). Partant d’un point P de \(\alpha\), on construit successivement Q sur \(\beta\), R sur \(\gamma\), et S à nouveau sur \(\alpha\), tels que A, B, P et Q soient cocycliques, de même que B, C, Q et R, et C, A, R et S (ces trois cercles sont en rouge sur la figure jointe). Il ’agit de s’assurer que si l’on réitère ces opérations mais au départ de\(\,\) S au lieu de\(\,\) P, le point d’arrivée sera\(\,\) P au lieu de\(\,\) S.

    À cet effet, introduisons le cercle passant par A, P et S (en vert sur la figure), et sa tangente t au point A ; appelons aussi B\(\gamma\) et C\(\beta\) les tangentes en B à \(\gamma\) et en C à \(\beta\). Les sept cercles de la figure fournissent sept égalités entre angles orientés de droites : (t,\(\,\)AP) = (SA,\(\,\)SP), (BP,\(\,\)BC) = (SP,\(\,\)SC), (RC,\(\,\)RA) = (SC,\(\,\)SA), (RA,\(\,\)RB) = (BA,\(\,\)B\(\gamma\)), (RB,\(\,\)RC) = (QB,\(\,\)QC), (C\(\beta\),\(\,\)CA) = (QC,\(\,\)QA) et (AP,\(\,\)AQ) = (BP,\(\,\)BQ), auxquelles on adjoint l’identité (AQ,\(\,\)BP) = (QA,\(\,\)BP). En additionnant tout ça membre à membre, il reste (t,\(\,\)BC) + (C\(\beta\),\(\,\)CA) = (BA,\(\,\)B\(\gamma\)). Ceci dit que la direction de t est déterminée par les points A, B et C et les cercles \(\beta\) et \(\gamma\), et ne dépend donc pas du choix de P sur \(\alpha\). Ainsi, les points P et S sont communs à \(\alpha\) et à un cercle tangent en A à t, ce qui explique que l’on revienne en P lorsqu’on part de S.

    \({}\)

    Remarques. — 1°. Si l’on appelle H, I et J les points (autres que A, B et C) où se recoupent \(\beta\) et \(\gamma\), \(\gamma\) et \(\alpha\) et \(\alpha\) et \(\beta\), on voit que, lorsque P est pris en I, Q et R sont tous deux en H, et S se trouve en J. D’où une construction directe de t à partir des données : c’est la tangente en A au cercle passant par A, I et J.

    2°. En bricolant un peu la formule ci-dessus, on obtient (t,\(\,\)A\(\beta\)) = (A\(\gamma\),\(\,\)AB) + (BC,\(\,\)CA) ; et en réécrivant (BC,\(\,\)CA) au moyen de la tangente en A au cercle ABC, on trouve que t est aussi la droite symétrique de cette tangente par rapport aux bissectrices des tangentes en A à \(\beta\) et \(\gamma\).

    3°. Appelons M le point commun aux droites IJ et t. Situé à la fois sur l’axe radical des cercles \(\alpha\) et AIJ et sur celui de AIJ et APS, il a même puissance par rapport aux trois cercles, et est donc sur l’axe radical PS de \(\alpha\) et APS. Ceci donne une autre description de la correspondance entre P et S : lorsque P se promène sur \(\alpha\), la droite PS pivote autour du point fixe M.
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