Figure sans paroles #10.3

Figure sans paroles
Écrit par Arseniy Akopyan
Publié le 8 janvier 2024

ÉCRIT PAR

Arseniy Akopyan

Chercheur - Institute of Science and Technology (Autriche)

Partager

Commentaires

  1. Hébu
    janvier 8, 2024
    11h33

    Même scénario que pour les figures précédentes, un triangle ABC, un point D sur BC (par exemple).
    Un point E sur AC, tel que CD et CE ont même longueur, puis F sur AB (AF=AE), G sur BC (CG=CH), I sur AB (AI=AH).

    A chaque fois, on construit un nouveau triangle isocèle.

    Et il faut montrer que BID est isocèle, c’est a dire BI et BD égaux.

    Une solution rustique. On note a,b,c les longueurs de BC, AC, AB.

    On a alors

    CE=CD=a-BD,

    AF=AE=bb-CE=b-a+BD,

    BG=BF=c-bBD,

    CH=CG=a-ca+BD,

    AI=AH=b—abBD=c-BD

    et donc BI=BD !

  2. Sidonie
    janvier 8, 2024
    21h05

    Vous prenez les longueurs il me reste les angles.
    I, F, E et H ainsi que E, H, G et D sont cocycliques.
    Dans les triangles isocèles BGF et CHG on a
    (GB,GF) = (BG,BF)/2 = (BC,BA)/2
    (GH,GC) = (CH,CG)/2 = (CA,CB)/2
    (GH,GF) = (GH,GC) + (GB,GF) = (CA,CB) /2 + (BC,BA)/2 = (AC,AB)/2 = (AE,AF)/2 = (EA,EF) = (EH,EF)
    Donc E,F,G et H sont cocycliques et donc les 6 points sont cocycliques . La fin ne pose pas de problèmes.
    A noter que le centre du cercle à 6 points est le point d’intersection des bissectrices c’est à dire le centre du cercle inscrit .