Figure sans paroles #8.1.10

Commentaires

1. Reine

   juin 4, 2023
   12h11

   On se donne trois points A, B et C sur un cercle de centre O, et leurs images A’, B’ et C’ par la rotation de centre O et d’angle π/3, de sorte que les six points sont sur le cercle et que les trois triangles OAA’, OBB’ et OCC’ sont équilatéraux. Les cercles circonscrits aux trois triangles OB’C, OC’A et OA’B sont respectivement appelés , , et , leurs centres D, E et F. Outre le point O,  et  se recoupent en un point I,  et  en un point J, et  et  en K (figure jointe).

   Problème : montrer que les segments IJ, JK et KI ont même longueur que le rayon OA.

   Les cordes OB’ et OC du cercle  ayant même longueur, il existe une rotation R de centre D qui transforme B’ en O et O en C. Les triangles équilatéraux B’OB, OBB’ et OCC’ ayant même taille et même orientation, R envoie B’OB sur OCC’. Il existe de même une rotation centrée en E et envoyant OC’ sur AO, donc OCC’ sur AA’O ainsi qu’une rotation de centre F envoyant A’O sur OB, donc AA’O sur B’OB. Le produit de ces trois rotations préserve B’OB ; c’est donc la transformation identique, ce qui donne la somme des angles de rotation :
   (DO→,DC→)+(EC′→,EO→)+(FO→,FB→)=0 (+2kπ).
   En divisant par deux on fait apparaître les angles de droites (définis à kπ près) inscrits dans les cercles : (KO,KC)+(KC’,KO)+(JO,JB) = 0, ou encore (KC’,KC) = (JB,JO). Appelons α cet angle.

   Situé sur , J est le seul point de  (à part O) tel que (JB,JO) = α ; donc R(J) est le seul point M de  (à part C) tel que (MC’,MC) = α ; cette propriété étant satisfaite par K, on a R(J) = K. Et la rotation R envoyant J sur K et O sur C, les cordes JK et OC de  sont égales, ce qu’il fallait démontrer.

   

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