Figure sans paroles #8.1.11

Figure sans paroles
Écrit par Arseniy Akopyan
Publié le 15 mai 2023

ÉCRIT PAR

Arseniy Akopyan

Chercheur - Institute of Science and Technology (Autriche)

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Commentaires

  1. Reine
    mai 31, 2023
    19h25

    En supposant équilatéraux les quatre triangles gris que nous propose cette figure, il en ressort la question que voici.

    Disons, pour simplifier le vocabulaire, qu’un triangle \(UVW\) est équilatéral direct\(\,\) s’il est équilatéral et si l’angle orienté \(\,(\vec{UV},\,\vec{UW})\) vaut \(+\pi/3\). [1]

    Soient, dans le plan, neuf points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(I\), \(J\) et \(K\) tels que les quatre triangles \(IJK\), \(IAB\), \(JCD\) et \(KEF\) soient équilatéraux directs (voir la figure 1 ci-jointe). Les milieux \(O\) de \(DE\), \(P\) de \(FA\) et \(Q\) de \(BC\) sont-ils les sommets d’un cinquième triangle équilatéral direct ?

    La réponse est positive au moins dans le cas très symétrique illustré sur la figure 2.

    Pour en déduire le cas général, il suffit de vérifier que si, en partant de neuf points pour lesquels la réponse est positive, on modifie les points \(\,A\) et \(\,B\) (ou bien \(\,C\) et \(\,D\), ou bien \(\,E\) et \(\,F\)) tout en préservant l’équilatéralité directe, la réponse restera positive après cette modification.\(\,\) Il suffit évidemment de le faire pour \(A\) et \(B\) ; soient donc \(\,A’\) et \(\,B’\) deux nouveaux points du plan tels que \(IA’\!B’\) soit lui aussi équilatéral direct, et \(P’\) et \(Q’\) les milieux respectifs de \(FA’\) et \(CB’\).

    La rotation Rot\((I,\,+\pi/3)\) envoie \(A\) sur \(A’\), \(B\) sur \(B’\), et le vecteur \(\vec{AA’}\) sur le vecteur \(\vec{BB’}\) ; on peut donc passer de \(\vec{PP’}\) (moitié de \(\vec{AA’}\)) à \(\vec{QQ’}\) (moitié de \(\vec{BB’}\)) par une certaine rotation d’angle \(+\pi/3\). Mais il n’existe qu’une seule rotation d’angle \(+\pi/3\) envoyant \(P\) sur \(Q\) ; et comme on a supposé \(OPQ\) équilatéral direct, cette rotation n’est autre que \(R(O,+\pi/3)\). C’est pourquoi Rot\((O,+\pi/3)\) envoie aussi \(P’\) sur \(Q’\), et l’équilatéralité directe de \(OPQ\) est ainsi transférée à \(OP’\!Q’\).
    figure

    [1] Chaque triangle équilatéral est évidemment direct pour l’une des deux orientations du plan ; l’enjeu ici sera d’assurer une même orientation à plusieurs triangles.