Figure sans paroles #8.1.15

Figure sans paroles
Écrit par Arseniy Akopyan
Publié le 12 juin 2023

ÉCRIT PAR

Arseniy Akopyan

Chercheur - Institute of Science and Technology (Autriche)

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Commentaires

  1. Sidonie
    juin 14, 2023
    20h18

    Sur les côtés d’un triangle ABC dont les côtés mesurent a, b et c on trace 3 triangles équilatéraux (seuls 2 sont représentés), extérieurs au triangle. D, E et F (non représenté) sont les centres de ces triangles. Il s’agit de prouver que DEF est équilatéral.
    Je note d et e les longueurs AD et AE. Il vient c²/3 = d² et b²/3 = e² et cb/3 = de
    Pour éviter les lourdeurs je pose (AB,AC) = α
    On a (AD,AB) = (AC,AE) =30° et donc (AD,AE) = α + 60°
    On a alors cos(AD,AE) = cos (α + 60°) = cos(α)cos(60°) – sin(α)sin(60°) = cos(α)/2- 3sin(α)/2
    La loi du cosinus pour ABC en A donne cos(α) = (b² + c² – a²)/2bc après transformation
    La loi du cosinus pour ADE en A donne DE² = d² + e² – 2decos (α +60°) =
    = c²/3 + b²/3 – (bc/3)( b²+c²-a²)/2bc- 3(bc/3)sin(α) = c²/3+b²/3-b²/6-c²/6+a²/6-(abc/3) sin(α)/a
    Et pour finir DE² = (a²+b² +c²)/6-(sin(α)/a)x abc/3.
    La loi du sinus nous dit que sin(α)/a prend la même valeur en A, B et C et donc que la longueur DE sera la même en refaisant la construction avec B et C
    A noter que si les triangles sont intérieurs il suffit de changer quelques signes pour obtenir le résultat

    • Sidonie
      juin 15, 2023
      10h57

      Errata
      les racines de 3 que j’ai utilisées dans Word ont disparues à la recopie. Il convient donc de remplacer les 3 accompagnant les sinus par des racines de 3, Dans l’expression avec deux 3 ,c’est le premier qu’il faut changer

  2. Hébu
    juin 15, 2023
    12h40

    Autre idée : je trace les cercles circonscrits aux triangles équilatéraux. J’appelle D, E, F les centres de ces cercles.

    J’appelle J l’intersection des cercles (D) et (E). Puisque (JA,JB)=(JC,JA)=120°, alors (JB,JC)=120° et J est aussi sur le cercle (F).

    (DJ,DE)=(DE,DA) ; (DB,DF)=(DF,DJ) — puisque (DE) et (DF) joignent les centres.

    De sorte que (DF,DE)=(DB,DA)/2=60°. Même argument pour les autres et DEF a ses 3 angles égaux à 60°.