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.
Par exemple, on pourra écrire que
sont les deux solutions complexes de l’équation
.
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20h18
Sur les côtés d’un triangle ABC dont les côtés mesurent a, b et c on trace 3 triangles équilatéraux (seuls 2 sont représentés), extérieurs au triangle. D, E et F (non représenté) sont les centres de ces triangles. Il s’agit de prouver que DEF est équilatéral.
Je note d et e les longueurs AD et AE. Il vient c²/3 = d² et b²/3 = e² et cb/3 = de
Pour éviter les lourdeurs je pose (AB,AC) = α
On a (AD,AB) = (AC,AE) =30° et donc (AD,AE) = α + 60°
On a alors cos(AD,AE) = cos (α + 60°) = cos(α)cos(60°) – sin(α)sin(60°) = cos(α)/2- 3sin(α)/2
La loi du cosinus pour ABC en A donne cos(α) = (b² + c² – a²)/2bc après transformation
La loi du cosinus pour ADE en A donne DE² = d² + e² – 2decos (α +60°) =
= c²/3 + b²/3 – (bc/3)( b²+c²-a²)/2bc- 3(bc/3)sin(α) = c²/3+b²/3-b²/6-c²/6+a²/6-(abc/3) sin(α)/a
Et pour finir DE² = (a²+b² +c²)/6-(sin(α)/a)x abc/3.
La loi du sinus nous dit que sin(α)/a prend la même valeur en A, B et C et donc que la longueur DE sera la même en refaisant la construction avec B et C
A noter que si les triangles sont intérieurs il suffit de changer quelques signes pour obtenir le résultat
10h57
Errata
les racines de 3 que j’ai utilisées dans Word ont disparues à la recopie. Il convient donc de remplacer les 3 accompagnant les sinus par des racines de 3, Dans l’expression avec deux 3 ,c’est le premier qu’il faut changer
12h40
J’appelle J l’intersection des cercles (D) et (E). Puisque (JA,JB)=(JC,JA)=120°, alors (JB,JC)=120° et J est aussi sur le cercle (F).
(DJ,DE)=(DE,DA) ; (DB,DF)=(DF,DJ) — puisque (DE) et (DF) joignent les centres.
De sorte que (DF,DE)=(DB,DA)/2=60°. Même argument pour les autres et DEF a ses 3 angles égaux à 60°.