Figure sans paroles #8.1.2

Commentaires

1. Reine

   mars 14, 2023
   9h11

   Étant donnés deux points \(A\) et \(O\) et une droite \(D\) perpendiculaire à \(AO\), considérons, pour tout point \(M\) du plan, le cercle passant par \(A\), par \(M\) et par le symétrique \(M’\) de \(M\) par rapport à \(D\). Son centre étant sur la médiatrice \(D\) de \(MM’\), il passe aussi par le point \(A’\) symétrique de \(A\) par rapport à \(D\). La puissance de \(O\) par rapport à ce cercle est donc \(p\) = \(\,\overline{\!OA\!}\,\,\,\overline{\!O\smash{A’}\!\!}\,\,\), de sorte que le cercle passe également par le point \(N\) de la droite \(OM\) tel que \(\,\overline{\!OM}\,\,\overline{\!ON}\) = \(p\).
   C’est ce mécanisme qui est (trois fois) à l’œuvre dans la figure proposée ci-dessus. On y voit un triangle \(ABC\) (qu’il faut supposer équilatéral) de centre \(O\), un point \(M\), et trois cercles, dont l’un passe par \(A\), par \(M\) et par le symétrique de \(M\) par rapport à \(BC\). L’argument ci-dessus montre qu’il passe aussi par le point \(N\) de \(OM\) tel que \(\,\overline{\!OM}\,\,\overline{\!ON}\) prenne une valeur \(p\), ici égale à \(-2\,OA^2\). Les deux autres cercles sont définis à partir de \(M\) de façon analogue, en permutant les sommets du triangle ; insensible à ces permutations, le point \(N\) est commun aux trois cercles.

   

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