Chercheur -
Institute of Science and Technology (Autriche)
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Commentaires
Sidonie
février 14, 2023 11h27
Un 18-gone. Son centre O. 6 sommets consécutifs F, A, B, C, D et E. M, N et P sont les milieux de [OF], [OB] et [CE].
Il s’agit de démontrer l’alignement M, N et P. R est l’intersection entre (PM) et (OA)
Je donne la mesure des angles en degrés. Un angle au centre interceptant un côté mesure donc 20°.
Ainsi (OF, OC) = 60° et OFC est un triangle équilatéral. M milieu du côté [OF] d’où (CM) perpendiculaire à (OM), M appartient au cercle de diamètre [OC] et (CO, CM) = 30°.
Même démonstration pour P milieu de la base du triangle isocèle OCE donc il appartient aussi au cercle de diamètre [OC] et on a (PO, PM) = (CO, CM) = 30°.
(OA, OP) = (OA, OD) = 60° et donc MPR triangle rectangle d’où (PM) et (OA) sont perpendiculaires.
On a évidemment (OA) et (MN) perpendiculaires avec (PM) // (MN) d’où l’alignement.
Une autre façon de faire : appelant C’ et E’ les symétriques de C et E par rapport à OA (l’autre arc de la figure proposée), on voit que EE’C’C est un trapèze isocèle, dont PN est la médiane, et EC’ et E’C les diagonales
C’est en effet beaucoup plus simple, en commençant par démontrer toutefois que M et N sont les milieux des diagonales ce qui n’offre guère de difficultés avec la présence de deux losanges ODBC’ et OBFE
11h27
Un 18-gone. Son centre O. 6 sommets consécutifs F, A, B, C, D et E. M, N et P sont les milieux de [OF], [OB] et [CE].
Il s’agit de démontrer l’alignement M, N et P. R est l’intersection entre (PM) et (OA)
Je donne la mesure des angles en degrés. Un angle au centre interceptant un côté mesure donc 20°.
Ainsi (OF, OC) = 60° et OFC est un triangle équilatéral. M milieu du côté [OF] d’où (CM) perpendiculaire à (OM), M appartient au cercle de diamètre [OC] et (CO, CM) = 30°.
Même démonstration pour P milieu de la base du triangle isocèle OCE donc il appartient aussi au cercle de diamètre [OC] et on a (PO, PM) = (CO, CM) = 30°.
(OA, OP) = (OA, OD) = 60° et donc MPR triangle rectangle d’où (PM) et (OA) sont perpendiculaires.
On a évidemment (OA) et (MN) perpendiculaires avec (PM) // (MN) d’où l’alignement.
13h15
Oui, bien vu !
Une autre façon de faire : appelant C’ et E’ les symétriques de C et E par rapport à OA (l’autre arc de la figure proposée), on voit que EE’C’C est un trapèze isocèle, dont PN est la médiane, et EC’ et E’C les diagonales
18h16
C’est en effet beaucoup plus simple, en commençant par démontrer toutefois que M et N sont les milieux des diagonales ce qui n’offre guère de difficultés avec la présence de deux losanges ODBC’ et OBFE