Figure sans paroles #8.1.4

Figure sans paroles
Écrit par Arseniy Akopyan
Publié le 27 mars 2023

ÉCRIT PAR

Arseniy Akopyan

Chercheur - Institute of Science and Technology (Autriche)

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Commentaires

  1. Sidonie
    mars 28, 2023
    22h43

    Je démontre un résultat plus général qui appliqué à la figure donne le résultat. Le nom des cercles est le même que leurs centre en minuscule.
    Description : Deux cercles (a) et (c) sont tangents en B. D et E appartiennent à (a). (DF) et (EG) sont tangents à (c).
    Conclusion : DP/DB = EG/EB
    (BH) est la tangente commune à(a) et (b) et H appartient à (DE). (h) est le cercle qui passe par B, (d) passe par F et (e) passe par G. I et J sont les intersections entre (d) et(h).
    Par construction (h), (d) et(e) sont orthogonaux à (c), de plus H, D et E sont alignés : ils forment un faisceau ce qui prouve que (e) passe aussi par I et J, d’où DI = DP et EI = EG
    K et L non marqués sont les intersections de (DE) et (h). Par construction ils partagent harmoniquement D et E. Le cercle (h) est le lieu des points M tels que MD/ME est constant.
    Donc ID/IE = BD/BE . DP/DB = DI/DB = IE/BE = GE/BE …CQFD…
    Appliqué à la figure : les 3 longueurs a, b et c de cette semaine sont proportionnelles à a,b et c de la semaine dernière.

    • Hébu
      mars 30, 2023
      20h52

      Très jolie preuve ! (j’ai l’impression que F et P ne font qu’un ?)

      • Sidonie
        avril 12, 2023
        12h18

        Tout à fait : ma vue fort défaillante m’a fait confondre F et P, confusion classique dans les examens oculaires.

    • Reine
      mars 31, 2023
      15h46

      Me permettrez-vous de proposer une autre démonstration de votre joli résultat ?
      On peut l’énoncer ainsi : Soient deux cercles\(\,\) (a) et\(\,\) (c), tangents (extérieurement ou intérieurement) en un point\(\,\) \(B\). Si un point variable\(\,\) \(D\) décrit le cercle \(\,\)(a), sa puissance par rapport à\(\,\) (c) reste proportionnelle à\(\,\) \(DB^2\). Lorsque (a) est à l’extérieur de (c) (même si les cercles sont tangents intérieurement), cette puissance est le carré d’une tangente \(DF\) menée de \(D\) à (c), et l’on a alors proportionnalité entre \(DF\) et \(DB\).
      En effet, le point de contact \(B\) est le centre d’une homothétie envoyant (a) sur (c), de sorte que le point \(D’\) où la droite \(DB\) recoupe (c) vérifie \(\,\overline{\!BD’\!\!}\,\,=k\,\,\overline{\!BD\!}\,\), où \(k\) est le rapport d’homothétie (c’est le rapport des rayons affecté d’un signe \(\pm\) selon la nature du contact ; mais peu importe). Ceci peut se réécrire \(\,\overline{\!DD’\!\!}\,\,=(1{-}k)\,\,\overline{\!DB\!}\,\) ; multiplier les deux membres par \(\,\overline{\!DB\!}\,\) fournit la valeur \((1{-}k)\,\,DB^2\) pour la puissance \(\,\overline{\!DB\!}\,\,\,\,\overline{\!DD’\!\!}\,\,\).
      \({}\)
      Remarque : Lorsque (c) est intérieur à (a), la propriété illustrée ici est un cas particulier (avec trois rayons nuls) de la Figure sans Paroles 6.1.10 ; cette dernière reste d’ailleurs vraie (votre démonstration s’étendant à ce cas) lorsque les quatre cercles auxiliaires y sont tangents extérieurement\(\,\) au cercle principal.


      • Sidonie
        avril 1, 2023
        10h18

        Comme souvent, vous généralisez et simplifiez. Je tiens tout de même vous remercier pour m’avoir rappelé les faisceaux de cercles à l’occasion d’une figure sur les quadrilatères complets. Je n’ai pas assez d’internet pour la retrouver.

      • Reine
        avril 1, 2023
        11h34

        Peut-être évoquez-vous la Figure sans Paroles 3.10 ?