Figure sans paroles #8.1.4

Figure sans paroles
Écrit par Arseniy Akopyan
Publié le 27 mars 2023

ÉCRIT PAR

Arseniy Akopyan

Chercheur - Institute of Science and Technology (Autriche)

Commentaires

  1. Sidonie
    mars 28, 2023
    22h43

    Je démontre un résultat plus général qui appliqué à la figure donne le résultat. Le nom des cercles est le même que leurs centre en minuscule.
    Description : Deux cercles (a) et (c) sont tangents en B. D et E appartiennent à (a). (DF) et (EG) sont tangents à (c).
    Conclusion : DP/DB = EG/EB
    (BH) est la tangente commune à(a) et (b) et H appartient à (DE). (h) est le cercle qui passe par B, (d) passe par F et (e) passe par G. I et J sont les intersections entre (d) et(h).
    Par construction (h), (d) et(e) sont orthogonaux à (c), de plus H, D et E sont alignés : ils forment un faisceau ce qui prouve que (e) passe aussi par I et J, d’où DI = DP et EI = EG
    K et L non marqués sont les intersections de (DE) et (h). Par construction ils partagent harmoniquement D et E. Le cercle (h) est le lieu des points M tels que MD/ME est constant.
    Donc ID/IE = BD/BE . DP/DB = DI/DB = IE/BE = GE/BE …CQFD…
    Appliqué à la figure : les 3 longueurs a, b et c de cette semaine sont proportionnelles à a,b et c de la semaine dernière.

    • Hébu
      mars 30, 2023
      20h52

      Très jolie preuve ! (j’ai l’impression que F et P ne font qu’un ?)

      • Sidonie
        avril 12, 2023
        12h18

        Tout à fait : ma vue fort défaillante m’a fait confondre F et P, confusion classique dans les examens oculaires.

    • Reine
      mars 31, 2023
      15h46

      Me permettrez-vous de proposer une autre démonstration de votre joli résultat ?
      On peut l’énoncer ainsi : Soient deux cercles (a) et (c), tangents (extérieurement ou intérieurement) en un point B. Si un point variable D décrit le cercle (a), sa puissance par rapport à (c) reste proportionnelle à DB2. Lorsque (a) est à l’extérieur de (c) (même si les cercles sont tangents intérieurement), cette puissance est le carré d’une tangente DF menée de D à (c), et l’on a alors proportionnalité entre DF et DB.
      En effet, le point de contact B est le centre d’une homothétie envoyant (a) sur (c), de sorte que le point D′ où la droite DB recoupe (c) vérifie BD′―=kBD―, où k est le rapport d’homothétie (c’est le rapport des rayons affecté d’un signe ± selon la nature du contact ; mais peu importe). Ceci peut se réécrire DD′―=(1−k)DB― ; multiplier les deux membres par DB― fournit la valeur (1−k)DB2 pour la puissance DB―DD′―.

      Remarque : Lorsque (c) est intérieur à (a), la propriété illustrée ici est un cas particulier (avec trois rayons nuls) de la Figure sans Paroles 6.1.10 ; cette dernière reste d’ailleurs vraie (votre démonstration s’étendant à ce cas) lorsque les quatre cercles auxiliaires y sont tangents extérieurement au cercle principal.


      • Sidonie
        avril 1, 2023
        10h18

        Comme souvent, vous généralisez et simplifiez. Je tiens tout de même vous remercier pour m’avoir rappelé les faisceaux de cercles à l’occasion d’une figure sur les quadrilatères complets. Je n’ai pas assez d’internet pour la retrouver.

      • Reine
        avril 1, 2023
        11h34

        Peut-être évoquez-vous la Figure sans Paroles 3.10 ?

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Par exemple, on pourra écrire que sont les deux solutions complexes de l’équation .

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