Figure sans paroles #8.6

Figure sans paroles
Publié le 9 janvier 2023

ÉCRIT PAR

Arseniy Akopyan

Chercheur - Institute of Science and Technology (Autriche)

Partager

Commentaires

  1. Hébu
    janvier 10, 2023
    13h27

    Je note P leur intersection, O le centre du cercle circonscrit et H le projeté orthogonal de O sur CD.

    Si je désigne par u l’angle (OD,OH) et v l’angle (OH,OP), on voit que :

    \[\frac{OP}{r} = \frac{cos u}{cos v}\]

    Maintenant, mes figures s’appuient sur un polygone régulier à n côtés. Je puis repérer les points C et D en comptant les sommets. Je note p et q les numéros de C et D, comptés depuis B.
    Mon polygone possède n sommets, posant w=π/n, je vois que (OB,OC)=2pw, (OD,OB)=2qw

    Et donc u=(p+q)w, et v=(q−p)w.

    Ce qui me permet de calculer OP, en fonction des positions de mes points :

    \[ \frac{OP}{r} = \frac{cos(p+q)w}{cos(p-q)w}\]

    (p-q ou q-p, le cosinus étant une fonction paire)

    Si maintenant je trace une troisième diagonale, caractérisée par deux points E,F, que je peux repérer par p′,q′, il y aura concourance si les quotients des cosinus sont égaux :

    \[ \frac{cos(p+q)w}{cos(p-q)w} = \frac{cos(p’+q’)w}{cos(p’-q’)w}\]

    Ainsi, dans la figure 8.4 (on a w=10°),

    \[ \frac{cos 8w}{cos 6w} = \frac{cos7w}{cos w}\]

    Tandis que dans la figure 8.5

    \[ \frac{cos 7w}{cos 5w} = \frac{cos6w}{cos 2w}\]

    Etonnant, non ?

    (on doit pouvoir mener un calcul du même genre si AB n’est pas un diamètre, mais ca semble moins clair)

  2. Hébu
    janvier 10, 2023
    16h18

    Encore une variation du précédent : on retrouve le 18-gone régulier, les sommets A,B diamétralement opposés. C est toujours le sommet précédant B, soit C:B−1, mais D:A−4, ou bien B+5. Et E:B−2 et F:B+3.

    Et, là encore, il faut montrer la concourance de AB, CD et EF.

    .
    J’appelle O le centre du cercle circonscrit, et P l’intersection de AB et EF.

    La preuve se calque sur la précédente : je place le somme D′, symétrique de D par rapport à AB (D′:A+4). Le triangle D′OE est équilatéral et sa médiatrice est D′C′, C désignant le point B+1 (puisque D′C′ est une corde perpendiculaire à OE.

    Maintenant, les angles (EO,EP)=(EO,EF) et (OB,OE) sont égaux, faisant de POE un triangle isocèle, et plaçant donc P sur la médiatrice de OE.

  3. Aziz El Kacimi
    janvier 13, 2023
    19h49

    La mesure commune \(\theta \) des petits arcs qui constituent l’octadécagone régulier vaut \({\pi \over 9}\). On note \(M\) le point d’intersection des droites \((XX’)\) et \((YY’)\). Pour montrer que la droite \((AA’)\) passe par \(M\), il suffit de montrer que l’angle \(\widehat{AMA’}\) vaut \(\pi \). On obtient cela en utilisant la formule donnée en-dessous du cercle de gauche sur le dessin ci-joint. (Une preuve de cette formule est donnée ici https://images.math.cnrs.fr/La-tete-a-vingt-degres.html En effet :
    \[\widehat{AMA’}= \widehat{AMX}+\widehat{XMY}+\widehat{YMA’} ={{4+1}\over 2}\theta +{{2+1}\over 2}\theta +{{3+7}\over 2}\theta =9\theta =\pi .\]

  4. Hébu
    janvier 13, 2023
    21h13

    J’avais posté une réponse, mais je ne la retrouve pas. Mauvaise manip de ma part ?
    Ceci étant, le site doit avoir un problème, le post d’Aziz que je vois à cet instant (13/1, 21:11) est annoncé du 13/1, 19:46, mais il est identique à celui que j’ai lu hier !!!

    Anyway, mon commentaire à cette remarque :

    — –

    Il me semble que le calcul implique que l’on sache que M est une intersection commune ?

    Tout ce qu’on peut écrire a priori est que AA’ et XX’ se coupent en M1, AA’ et YY’ en M2.
    On a bien éventuellement la somme des angles , mais sans plus

    Exemple sur la figure jointe
    \[ \widehat{AM_1X} + \widehat{ XMY }+ \widehat{YM_2A’}= \frac{5+1}{2}\theta+\frac{2+1}{2}\theta + \frac{6+3}{2}\theta= 9\theta \]

  5. Aziz El Kacimi
    janvier 13, 2023
    21h30

    Bonjour,

    Oui, vous avez raison, ça ne marche pas comme ça. J’ai été un peu rapide et me suis fait berner par le dessin ! Merci de m’avoir signalé cette erreur. Je vais reprendre l’exercice.

    Serait-il possible d’avoir votre adresse mail ?

    Bien cordialement,

    Aziz

  6. Hébu
    janvier 13, 2023
    21h44