Figure sans paroles #8.9

Figure sans paroles
Écrit par Arseniy Akopyan
Publié le 30 janvier 2023

ÉCRIT PAR

Arseniy Akopyan

Chercheur - Institute of Science and Technology (Autriche)

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Commentaires

  1. Hébu
    janvier 30, 2023
    21h19

    On a affaire à un icosikaitetragone, puisque notre polygone a a 24 côtés ! Et une énigme plus douce que la précédente.

    On choisit un point qu’on appelle A. On place B, diamétralement opposé sur le cercle circonscrit. Puis C et D qu’on repèrera par B−3 et B+3. Enfin, E:B−1, F:B+7, G:B+1 et H:B−7.

    Et AB, CD, EF, GH sont concourants.

    .
    (AB) est un diamètre, les points C et D sont symétriques par rapport à ce diamètre, donc la corde CD est perpendiculaire à AB. On appelle P l’intersection de ces deux diagonales.

    O est le centre du cercle circonscrit, on pose comme précédemment w=π/n — ici n=24 et (OB,OC)=6π/24=π/4 : POC est un triangle rectangle isocèle, de sorte que P est sur la médiatrice de OC.

    Le calcul des angles montre que OCH et OCG sont deux triangles équilatéraux, G et H sont sur la médiatrice de OC : H,P,G sont alignés.

    EF et GH sont symétriques par rapport à AB : EF passe donc aussi par P.

  2. Hébu
    février 1, 2023
    12h43

    On peut essayer l’utilisation des lignes trigonométriques. On écarte EF, pour conserver AB,CD,GH. (l’intersection avec EF suivra de la symétrie). On a donc la suite des intervalles A−H−C−B−G−D−A, soit 5,4,3,1,2,9 : la relation de 3-intersection s’écrit
    sin5w.sin3w.sin2w=sin4w.sinw.sin9w

    Avec w=π/24. Une méthode expéditive consistera à utiliser les formules d’Euler (sinu=(eiu−e−iu)/2i). En effectuant les produits, en simplifiant, la relation se réduit à sin14w=sin10w.

    Relation valide si w=π/24 : c’est à dire pour notre polygone. Ouf !