Figure sans paroles #9.10

Commentaires

1. Hébu

   octobre 3, 2023
   13h07

   Deux carrés \(ABCD\) et \(AEFG\), construites sur les côtés \(AD\) et \(AE\) du triangle \(ADE\). \(J\) et \(K\) sont les projetés orthogonaux de \(C\) et \(F\) sur \((AE)\) et \((AD)\). \(H\) est l’intersection de \((CJ)\) et \((FK)\).

   Il faut montrer l’orthogonalité de \((AH)\) et \((DE)\).

   .
   Je trace \((FA)\), j’appelle \(F’\) l’intersection \((FA)-(CH)\). De même \((CA)\) qui coupe \((FH)\) en \(C’\).

   \(AFE\) et \(AF’J\) sont deux triangles rectangles isocèles : \((F’F,F’H)=45\)°
   Même chose quant à \(ACD\) et \(AC’K\), et donc \((C’H,C’C)=45\)°.

   Les triangles \(HF’F\) et \(HC’C\), dont les angles ont même valeur, sont semblables : \(HC/HC’=HF/HF’\), soit \(HF’\times HC=HC’\times HF\) (1)

   (F’A,F’H)=45°=(F’A,F’C), ce qui fait que F’ appartient au cercle de centre \(D\), passant par \(A\) et \(C\). De même, \(C’\) appartient au cercle de centre \(E\) passant par \(A\) et \(F\).

   La relation (1) fait alors de \(H\) un point de l’axe radical de ces deux cercles. Axe radical qui passe par A, et est perpendiculaire à DE, la ligne des centres.

   

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