Figure sans paroles #9.18

Figure sans paroles
Écrit par Arseniy Akopyan
Publié le 27 novembre 2023

ÉCRIT PAR

Arseniy Akopyan

Chercheur - Institute of Science and Technology (Autriche)

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Commentaires

  1. Hébu
    novembre 27, 2023
    12h39

    On retrouve une variante de la figure 9.1, elle-même fille de 4.9.5 ! Les centres des carrés sont liés aux sommets du triangle par des angles égaux. Dans la figure 9.1, les figures extérieures étaient des triangles équilatéraux — angles de 30°. Ici, les carrés aboutissent à la même propriété, avec des angles de 45°

  2. Sidonie
    novembre 27, 2023
    20h49

    Petit plus
    Petit plus : les droites (IJ) et (AK) sont perpendiculaires (démonstration suit) ce qui fait de (BI), (CJ) et (AK) les 3 hauteurs, naturellement concourantes, du triangle IJK.

    Triangle ABC. Les centres I, J et K des carrés sont ici au sommet des demi-cercles de diamètres AC, AB et BC.
    D, E et F sont les milieux de AC, AB et BC. H et G sont les pieds des hauteurs issues de C et B.
    L et M sont les milieux de KJ et de KI.
    N est la 2éme intersection des cercles (i) et (j) de diamètres KJ et KI
    Je pose b = (BC,BA) = (FC,FD) = (ED,EA) = (DE,DF)

    CHBK et AHBJ sont cocycliques.
    Donc (HB,HK) = (CB,CK) =π/4 et de même (HI,HB) =π/4 d’où (HI,HK)= π/2
    ce qui fait que (i) passe par H et (j) passe par G
    FK = FB = DE, FD = BE =EJ, (FK,FD) = a +π/2 = (ED ,EJ) donc les triangles KFD et DEI sont égaux
    D’où DK = DJ (inattendu)
    et (DK,DJ) = (DK,DF)+(DF,DE)+(DE,DJ) = – a + (JD,JE) + (DE,DJ) = -a +(ED,EJ) = -a +a +π/2 = π/2
    Donc (j) passe par D et (i) passe par E

    Or D, E, G et H sont cocycliques sur le cercle d’Euler.
    La puissance de A par rapport à ce cercle donne AD.AH = AE.AG.
    AD.AH est aussi la puissance de A par rapport à (i) et AE.AG est la puissance de A par rapport à (J)
    A est donc sur l’axe radical de (i) et (j) d’où A, N et K alignés.
    (NI) et (NJ) sont perpendiculaires à (AK) donc elles sont confondues
    et pour finir (IJ) et (AK) perpendiculaires
    9-18

    • Reine
      novembre 28, 2023
      10h22

      Petit plus avec un peu moins

      Séduite par votre remarque Petit plus, je vous en propose une autre démonstration, utilisant moins de points : outre les indispensables A, B, C et I, J, K, je ne garderai que D, mais introduirai un nouveau point D’.

      La rotation R de sommet K et d’angle 90° envoie C sur B ; la rotation T de sommet J et d’angle 90° envoie B sur A. En effectuant R suivie de T, on a obtient la rotation S d’angle 180° envoyant C sur A, c’est-à dire la symétrie S par rapport au milieu D de CA.

      Le point D’ = R(D) est envoyé par T sur S(D), c’est-à-dire sur D.

      Les triangles KDD’ et JD’D étant rectangles et isocèles, KDJD’ est un carré. La rotation de centre D et d’angle 90° envoie donc J sur K. [1] Comme elle envoie aussi C sur I, elle envoie le segment CJ sur IK ; ces deux segments sont donc (égaux et) perpendiculaires.

      [1] Ce n’est pas neuf, mais figure implicitement dans votre démonstration.