Chercheur -
Institute of Science and Technology (Autriche)
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Commentaires
Reine
décembre 5, 2023 20h48
Les données sont ici un triangle ABC, ainsi qu’un rectangle dont l’un des côtés est BC, un autre dont un côté est CA et un troisième dont un côté est AB (chaque rectangle peut aussi bien être tourné vers l’intérieur que vers l’extérieur du triangle). Le sommet A est ainsi commun au triangle et à deux des rectangles ; appelons I et J les sommets consécutifs à A (autres que B et C) dans ces deux rectangles, et considérons la médiatrice de IJ (non figurée sur mon dessin). Les mêmes constructions à partir de B et C donnent deux autres médiatrices ; ces trois médiatrices sont-elles concourantes ?
Chacun des rectangles a deux médianes, dont l’une est parallèle à un côté du triangle. Ces trois médianes-là sont les côtés d’un nouveau triangle ; appelons-le A’B’C’. Vu les parallélismes, les droites AA’, BB’ et CC’ concourent en un certain point O. Soient P, Q et R les points symétriques de O par rapport aux droites B’C’, C’A’ et A’B’ ; observons par ailleurs que I (respectivement J) est le symétrique de A par rapport à A’C’ (respectivement A’B’).
Aligné avec A et A’, O est l’image de A par une homothétie H de centre A’. Préservant la droite A’C’, H transforme le symétrique I de A par rapport à A’C’ en le symétrique Q de O par rapport à A’C’ ; elle envoie de même J sur R. Elle envoie donc IJ sur QR, et la médiatrice de IJ sur celle de QR. Mais la médiatrice de IJ passe par A’ (car les médiatrices de AI, AJ et IJ concourent) et est donc invariante par H, de sorte que IJ et QR ont la même médiatrice.
Mutatis mutandis, on vérifie pareillement que les deux autres médiatrices en pointillés sont les médiatrices de RP et de PQ, de sorte que toutes trois concourent au centre du cercle circonscrit à PQR.
20h48
Les données sont ici un triangle ABC, ainsi qu’un rectangle dont l’un des côtés est BC, un autre dont un côté est CA et un troisième dont un côté est AB (chaque rectangle peut aussi bien être tourné vers l’intérieur que vers l’extérieur du triangle). Le sommet A est ainsi commun au triangle et à deux des rectangles ; appelons I et J les sommets consécutifs à A (autres que B et C) dans ces deux rectangles, et considérons la médiatrice de IJ (non figurée sur mon dessin). Les mêmes constructions à partir de B et C donnent deux autres médiatrices ; ces trois médiatrices sont-elles concourantes ?
Chacun des rectangles a deux médianes, dont l’une est parallèle à un côté du triangle. Ces trois médianes-là sont les côtés d’un nouveau triangle ; appelons-le A’B’C’. Vu les parallélismes, les droites AA’, BB’ et CC’ concourent en un certain point O. Soient P, Q et R les points symétriques de O par rapport aux droites B’C’, C’A’ et A’B’ ; observons par ailleurs que I (respectivement J) est le symétrique de A par rapport à A’C’ (respectivement A’B’).
Aligné avec A et A’, O est l’image de A par une homothétie H de centre A’. Préservant la droite A’C’, H transforme le symétrique I de A par rapport à A’C’ en le symétrique Q de O par rapport à A’C’ ; elle envoie de même J sur R. Elle envoie donc IJ sur QR, et la médiatrice de IJ sur celle de QR. Mais la médiatrice de IJ passe par A’ (car les médiatrices de AI, AJ et IJ concourent) et est donc invariante par H, de sorte que IJ et QR ont la même médiatrice.
Mutatis mutandis, on vérifie pareillement que les deux autres médiatrices en pointillés sont les médiatrices de RP et de PQ, de sorte que toutes trois concourent au centre du cercle circonscrit à PQR.
