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17h35
Cette figure présente un rectangle ABDE ainsi qu’un second rectangle AB’D’E’ obtenu à partir du premier par une rotation de centre A. Les trois droites pointillées sont BB’, DD’ et EE’, joignant les sommets correspondants. Sont-elles concourantes ?
Oui, et c’est un cas particulier d’une propriété plus générale, déjà rencontrée dans les commentaires sous la Figure sans Paroles 8.13 : Soient deux cercles\(\,\) C et\(\,\) C’ se coupant en deux points\(\,\) A et\(\,\) P. Si deux points M et\(\,\) M’, partant tous deux de\(\,\) A, parcourent respectivement\(\,\) C et\(\,\) C’ dans le même sens et à la même vitesse angulaire, la droite\(\,\) MM’ passe par un point fixe, qui n’est autre que\(\,\) P. En effet, en appelant T et T’ les tangentes à C et à C’ au point A (figure jointe), l’hypothèse dit que l’angle orienté de droites (T’\(\,\)AM’) reste constamment égal à (T,\(\,\)AM) (car ces deux angles varient à la même vitesse et s’annulent ensemble lorsque M et M’ passent par A). Ces deux angles se réécrivent (PA,\(\,\)PM’) et (PA,\(\,\)PM) ; leur égalité montre que les droites PM et PM’ ne font qu’une.
Ici, les cercles sont les cercles circonscrits aux deux rectangles ; ils se correspondent par la rotation qui envoie un rectangle sur l’autre, et ont en commun le point A et un autre point P. En vertu de ce qui précède, pour tout point M du premier cercle d’image M’ sur le second, la droite MM’ passe par P. Ce sera en particulier le cas pour les sommets B, D et E du rectangle.
11h02
Deux rectangles superposables ABCD et BEFG (AB = BE). Il s’agit de montrer que les droites (AE), (CG) et (DF) sont concourantes.
Soit H l’intersection entre (AE) et (CG).
Les triangles BAE et BCG sont semblables.
Preuve : isocèles avec un angle au sommet égal : (BE,BA) = (BE,BC)+π/2 = (BG,BC)
Ils se déduisent par une similitude composée d’une rotation de π/2 autour de B suivie d’une homothétie.
Donc (AE) et (CG) sont perpendiculaires et H est le deuxième point d’intersection entre les cercles circonscrits aux deux rectangles.
BF et BD étant des diamètres (BH, FH) = π/2 = (BH, DH) d’où alignement F, H et D (CQFD)
Petit plus : BF = BD et (BH) devient la médiatrice de [DF] et H son milieu.
(Fin de démonstration identique au 9.5)