Défi de la semaine
Paul a écrit un nombre et John l’a multiplié soit par 5, soit par 6. George a ajouté soit 5, soit 6 au résultat de John et, finalement, Ringo a soustrait soit 5 , soit 6 au résultat de George et a obtenu 78. Quel est le nombre que Paul a écrit ?
Solution du 5e défi de décembre 2022
Comme \(a^2+2b^2-2bc=100\) et \(2ab-c^2=100\), on a:
$$
\begin{eqnarray*}
a^2+2b^2-2bc & = 2ab-c^2 \\
a^2+b^2-2ab+c^2+b^2-2bc &= 0 \\
(a-b)^2+(b-c)^2 &= 0.
\end{eqnarray*}
$$
Donc \(a-b=0\) et \(b-c=0\), c’est-à-dire \(a=b=c\). En remplaçant \(b\) et \(c\) par \(a\) dans les deux équations de départ, on obtient à chaque fois \(a^2=100\) et donc \(a=\pm10\) .
Il y a par conséquent deux possibilités: \(10,10,10)\) et \((-10,-10,-10)\) .
Réponse :\(10,10,10)\) et \((-10,-10,-10)\) .
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
7h23
La réponse est 13.
Selon les actions de Ringo et Georges, pour 78 on doit :
▪︎ retirer 1 si Ringo a ajouté 5 et Georges retiré 6
▪︎ ajouter 1 si Ringo a ajouté 6 et Georges retiré 5
▪︎ne rien faire si Ringo a ajouté 5 et Georges retiré 5, ou si Ringo a ajouté 6 et Georges retiré 6
Alors on obtient dans l’ordre 77, ou 79, ou 78.
Comme le résultat doit être divisible par ou par 6 selon l’action de John, on prend 78 qui vaut 6×13.
On en déduit que Paul avait ecrit 13.