Défi de la semaine
Dans la grille ci-dessous, Gaby a barré quatre cases et Pénélope en a barré quatre autres. Si l’on sait que la somme des nombres barrés par Pénélope est le triple de la somme de ceux barrés par Gaby, quel nombre n’a pas été barré ?
Solution du 2e défi de janvier 2023
Réponse : 1473.
On a l’addition suivante:
$$
\begin{array}{ccccl}
& a & b & c & d\\
+ & & b & c & d\\
+ & & & c & d\\
+ & & & & 4\\
\hline
& 2 & 0 & 2 & 3
\end{array}
$$
On observe tout d’abord que \(3d+4\) se termine par \(3\) , donc \(3d\) se termine par \(9\) ce qui signifie que \(d=3\) .
Puisque \(3d+4=13\) , on en déduit que \(3c+1\) se termine par \(2\)
Il suit que \(3c\) se termine par \(1\) , donc \(c=7\) et \(3c+1=22\) .
Ensuite, on note que \(2b+2\) se termine par \(0\) , ce qui donne que \(b=4\) ou \(b=9\) .
Mais si \(b=9\) , alors \(2b+2=20\) et donc \(a=0\) , ce qui n’est pas possible car \(abcd\) doit être un nombre à quatre chiffres.
Ainsi, \(b=4\) , ce qui implique que \(a+1=2\) et donc \(a=1\) . En conclusion, le nombre à quatre chiffres recherché est
\(abcd=1473\) .
On observe tout d’abord que \(3d+4\) se termine par \(3\), donc \(3d\) se termine par \(9\), ce qui signifie que \(d=3\).
Puisque \(3d+4=13\), on en déduit que \(3c+1\) se termine par \(2\).
Il suit que \(3c\) se termine par \(1\), donc \(c=7\) et \(3c+1=22\).
Ensuite, on note que \(2b+2\) se termine par \(0\), ce qui donne que \(b=4\) ou \(b=9\).
Mais si \(b=9\), alors \(2b+2=20\) et donc \(a=0\), ce qui n’est pas possible car \(abcd\) doit être un nombre à quatre chiffres.
Ainsi, \(b=4\), ce qui implique que \(a+1=2\) et donc \(a=1\). En conclusion, le nombre à quatre chiffres recherché est
\(abcd=1473\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
8h42
A la Gauss, 1+2+…+9=45.
Or, 45=10+3.10+5.
Le nombre qui n’a pas été barré est 5.
9h29
Notons g la somme des nombres rayés par Gaby et n le nombre qui n’a pas été rayé.
Alors on a g+3g+n=1+2+3+4+5+6+7+8+9 soit 4g+n=45
De plus, 1≤n≤9 et 10≤g≤30.
∗ Si g=10 alors n=45−4×10=5.
Gaby a alors rayé les nombres 1, 2, 3 et 4 et Pénélope les nombres 6, 7, 8 et 9.
∗ Si g=11 alors n=45−4×11=1. Mais si Gaby n’a pas rayé pas le nombre 1, la somme des nombres qu’il a rayé g vaut, au minimum, 2+3+4+5=14 contradiction.
∗ Si g≥12 alors 4g≥48 impossible.
Seul le nombre 5 peut ne pas avoir été rayé.
11h44
La somme minimum est 10 (1 + 2 + 3 + 4), et la somme maximum est 30 (6 + 7 + 8 + 9). Toute augmentation de la somme minimum s’accompagnerait de la même augmentation au triple, ce qui n’est pas possible, puisque le maximum est déjà atteint avec 30.
Comme 30 est le triple de 10, il reste donc le 5 qui n’a pas été barré.
12h46
Et surtout on a 1+2+3+4=10 et 6+7+8+9=30=3.10 ce que j’avais oublié de préciser.
14h15
On nomme :
S = 45 la somme des 9 chiffres du carré
G = somme des 4 chiffres barrés par Gaby
P = somme des chiffres barrées par Pénélope
x le chiffre restant
Puisque P est le triple de G, on peut écrire que :
S = G + 3G + x donc 4G + x = 45 ou 4G = 45 – x
Pour obtenir un multiple de 4, les valeurs possibles de x sont 1,3, 5 et 9.
Pour x=1, G=10 est impossible car le minimum est 2+3+4+5 = 14.
Pour x=3, G=13 donne P=39 ce qui est impossible car le maximum est 6+7+8+9=30.
Pour x=9, G=10 est impossible car supérieur à 1+2+3+4 = 10.
Donc x=5 est le chiffre restant après que Gaby a coché 1, 2, 3 et 4 et Pénélope a coché 6,7,8 et 9.
11h35
Vous êtes-vous trompé de fil ?