Défi de la semaine
Quel est le plus grand diviseur commun des nombres \(2^3-2\), \(3^3-3\), \(4^3-4\), \(\cdots\), \(2024^3-2024\) ?
Solution du 5e défi de décembre 2023
Réponse : 8
Chaque face du cube contient \((n-2)^2\) petits cubes dont une seule face est peinte. Il y a donc en tout \(6(n-2)^2\) petits cubes ayant une seule face peinte.
Le grand cube contient par ailleurs \((n-2)^3\) petits cubes n’ayant aucune face peinte. Comme \(n-2>0\), on a donc \(6(n-2)^2=(n-2)^3\), ce qui donne \(6=n-2\), donc \(n=8\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
8h42
Les nombres sont de la forme :
n³-n=n(n²-1)=n(n-1)(n+1)
Le produit de 3 entiers successifs est divisible par 2 (puisqu’il y a un nombre pair parmi les 3) et par 3 (n+1, n ou n-1).
Leur pgcd est donc 2×3=6,
ce qui correspond au plus petit de ces nombres 2³-2