Défi de la semaine
Dans un gymnase, on compte \(210\) personnes. La moitié des femmes et un tiers des hommes font du vélo. Si \(85\) vélos sont occupés, combien y a-t-il d’hommes et de femmes dans le gymnase?
Solution du 1er défi de janvier 2024
Réponse : 6
Les nombres de la liste sont tous de la forme $$n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)\times n\times(n+1).$$ Chaque nombre de la liste est donc le produit de trois entiers consécutifs. Comme le produit de trois entiers consécutifs est à la fois un multiple de 3 et de 2, on en déduit que chaque nombre de la liste est un multiple de 6. De plus, le premier des nombres de cette liste est \(2^3-2=6\), qui n’a pas de diviseurs plus grands que 6. Le plus grand diviseur commun des nombres de la liste est donc 6.
Post-scriptum
Le calendrier mathématique 2024, en vente ici ou chez votre libraire favori, est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
8h35
J’appelle f le nombre de femmes,
alors il y a (210 – f) hommes.
Il y a f/2 femmes et (210 – f)/3 hommes qui font du vélo, soit f/2 + (210 -f)/3 = 85, D’où 3f + 420 -2f = 6×85.
Donc f = 6×85 – 420, c’est-à-dire f = 90 .
Et 210 – 90 = 120.
Alors il y a 90 femmes et 120 hommes.
10h40
Supposons qu’il n’y ait que des hommes il y aurait 70 vélos.
En remplaçant 6 hommes par 6 femmes le nombre de vélos augmente de 1 (-2h +3f)
Il faudra répéter 15 fois l’opération pour passer de 70 à 85.
15×6 = 90 femmes, 210-90 = 120 hommes.
12h04
$M+F=210$
$M/3+F/2=85$
Mieux : $M/3+F/3=70$
Donc $F/2-F/3=85-70=15$ ou $F/6=15$ ou $F=6*15=90$
$90$ femmes et $210-90=120$ hommes.
13h37
La moitié des femmes et les deux tiers des hommes (ceux qui ne font pas de vélo) totalisent : 210 – 85 = 125.
Ces 125 moins la moitié des femmes et le tiers des hommes (ceux qui font du vélo) totalisent : 125 – 85, soit 40, ce qui représente un tiers des hommes.
De là, tous les hommes sont 120 et les femmes 90.