Défi de la semaine
Un sac contient \(100 \) boules de trois couleurs: rouge, blanche et verte. On sait que si l’on sort \(26 \) boules du sac, quelles qu’elles soient, on aura obligatoirement sorti au moins \(10 \) boules d’une même couleur. Quel est le nombre minimal de boules qu’il faut sortir pour être sûr•e d’en sortir \(30 \) d’une même couleur ?
Solution du 2e défi de janvier 2024
Réponse : le nombre de femmes est 90, le nombre d’hommes est 120.
Notons \(f\) et \(h\) les nombres respectifs de femmes et d’hommes dans le gymnase. Ils vérifient les équations
$$f+h = 210 ~\text{ et }~ \frac{f}{2}+\frac{h}{3} = 85.$$
La première équation implique \(f=210-h\). En remplaçant \(h\) par \(210-f\) dans la seconde, on obtient \(f=90\), puis \(h=210-90=120\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
9h46
« Appelons la somme des boules tirées selon une couleur quelconque : a, b et c, avec a > b > c.
Notons qu’indépendamment de la première condition le pire tirage serait : (29, 29, 29). Cette condition implique que b + c < 17 ou que c ≤ 7. Afin d’obtenir le pire tirage posons c = 7, alors b = 29 et a également, nous avons : (29, 29, 7), et seule la 66ème boule tirée nous garantit 30 boules d’une même couleur.
13h39
J’aurais dû écrire : a ≥ b ≥ c et non a > b > c.
11h02
Je mets 8 boules rouges (R), 8 boules blanches (B) et 84 boules vertes (V) car 8 + 8 + 84 = 100. Au pire du pire je tire les 8 R, les 8 B et heureusement, ouf, je peux tirer 10 V.
Je maintiens ces nombres de couleurs.
Afin d’avoir à coup sûr au moins 30 V, je tire 46 boules puisque au pire j’aurai tiré 8 R, 8 B et qu’il me restera donc 30 V à tirer.
Mais où est le piège ?
13h30
Il y a 9 possibilités de répartition des boules pour satisfaire la
condition d’avoir 10 boules de même couleur en sortant 26 boules du sac,
à savoir (avec a ≥ b ≥ c) :
c va de zéro à 7, et a b va de 100 à 93, avec les pires tirages : (29,
29, 0) à (29, 29, 7), avec le nombre minimal de boules à sortir pour
être sûr d’en sortir 30 identiques de 59 à 66
ou c = 8, b = 8 et a = 84, avec un pire tirage : (29, 8, 8), et la 46ème
boule nous permet d’être sûr.
A partir de c = 9, on pourrait avoir un tirage de 26 boules de cette
forme : (9, 9, 8), ce qui ne fait partie de notre problème.
Il faut donc bien tirer 66 boules pour être sur d’en avoir au moins 30
de la même couleur.
19h13
Rajout
« Il faut lire »a plus b va de 100 à 93″ dans mon post précédent, le signe ’+’ a disparu à la publication.
De plus, le cas c = 0 peut être ignoré, on aurait deux couleurs au lieu des trois de l’énoncé.
Je réfléchissais à votre publication, et je me demande si on ne peut pas répondre tout simplement… 30, avec un tirage (30, 0, 0) ! En effet, on est certain de notre fait dès lors que l’on a effectivement tiré 30 boules identiques, on n’a pas besoin d’aller au-delà et cela peut arriver. De plus, on est assuré qu’il y a toujours au moins 30 boules identiques. En outre, c’est bien le nombre minimal de boules qu’il faut sortir pour le constater.
Il fallait peut-être préciser dans l’énoncé : « dans le cas le plus défavorable ».
16h35
Je reformule la bonne solution de celem_mene avec l’aide de mon fils ainé.
Je reprends la notation avec a ≥ b > c pour les nombres de boules de couleurs A, B et C.
On cherche la valeur de c la plus défavorable.
On tire les boules successivement.
Tant qu’on a 3 couleurs, le cas le plus défavorable de tirage est de tirer successivement 3 boules de couleurs toutes différentes.
Quand on n’a plus que 2 couleurs, le cas le plus défavorable de tirage est de tirer successivement 2 boules de couleurs différentes.
On veut obtenir N boules R ou boules B au bout de T tirages (les boules C seront épuisées).
Les 3.c premiers tirages vont conduire à c boules A, c boules B et 0 boules C.
Il reste donc (N – c) boules A ou B à obtenir.
Comme il ne reste que 2 couleurs, on va faire (N – c) tirages pour par exemple les boules A et seulement (N – c – 1) tirages pour les boules B.
Le nombre total de tirages est donc T = 3.c + (N – c) + (N – c – 1) ou T = c + 2N -1.
On nous dit que N = 10 et T = 26. Alors, c = 7.
On nous dit ensuite que N = 30 et on nous demande donc de trouver T.
T = 7 + 2×30 – 1 = 66.
Moi, j’avais quelque chose comme a ≥ b = c.
Qu’est-ce que ça change ?
Je fais les premiers 3.c tirages et j’épuise les boules B et C.
J’ai déjà c boules A et je finis par (N – c) tirages.
J’ai donc T = 3.c + N – c.
Avec les valeurs du texte, j’ai bel et bien mon c = 8.
Du coup, avec ce sac-là, si il faut N = 30 on a bel et bien 46.