Défi de la semaine
Prenons un nombre \(abcd\) à quatre chiffres. En intervertissant l’ordre des chiffres, nous obtenons le nombre \(dcba\) . En retranchant le plus petit de ces deux nombres au plus grand, nous obtenons un nombre à quatre chiffres dont trois d’entre eux sont \(1\) , \(7\) et \(9\) . Quel est le chiffre manquant?
Solution du 3e défi de janvier 2024
Réponse : 66
Notons \(r\), \(b\) et \(v\) les nombres de boules de couleur rouge, blanche et verte respectivement. Sans perte de généralité, on peut supposer que \(r\leq b\leq v\). En sortant \(26\) boules du sac, on en sort systématiquement au moins \(10\) d’une même couleur. La répartition de ces \(26\) boules ne peut donc pas être \(8/9/9\) et il faut au moins que \(r\leq 7\) ou que \(r\leq b\leq 8\). Dans ces deux cas, la pire situation pour tirer des boules sans en tirer \(30\) d’une même couleur est le cas \(r=7\) et la répartition \(7/29/29\) qui contient \(65\) boules. Si l’on en tire une \(66^{\text{e}}\), elle ne pourra pas être rouge et on aura donc \(30\) boules blanches ou \(30\) boules vertes. Par ailleurs, une répartition des boules du type \((r,b,v)=(7,46,47)\) répond à la condition de l’énoncé et peut bien engendrer un tirage défavorable de \(65\) boules comme ci-dessus. Pour être sûr d’avoir \(30\) boules de la même couleur, il faut donc en sortir \(66\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
21h38
La différence entre les deux nombres s’écrit
\(\Delta = |(1000a + 100b + 10c + d) – (1000d + 100c + 10b + a)|\)
\(\Delta = |999(a-d) + 90(b-c)|\)
\(\Delta = 9|111(a-d)+10(b-c)|\).
Puisque \(\Delta\) est multiple de \(9\), c’est le cas aussi pour la somme de ses chiffres : \(1+7+9+x \equiv 0 [9]\), soit \(x=1\).