Joel Kamnitzer

La Chaire Poincaré a été lancée en janvier 2013 par l’Institut Henri Poincaré et le Clay Mathematics Institute. Elle offre à de jeunes mathématiciens de talent les conditions de travail idéales pour développer leurs projets scientifiques. Pour sa cinquième édition, elle a été attribuée à Paul Bourgade et Joel Kamnitzer. Rencontre avec ce dernier, enseignant-chercheur de 40 ans et spécialiste de la théorie des représentations, thème qui fera par ailleurs l’objet d’un trimestre thématique à l’IHP (du 6 janvier au 3 avril 2020).

Adrien Rossille et Hélène Delye : Vous êtes aujourd’hui enseignant-chercheur à Toronto, mais vous avez effectué une partie de votre parcours aux États-Unis, c’est bien ça ?

Toronto, c’est la ville où je suis né et où j’ai grandi mais, en effet, j’ai effectué une partie de mon parcours universitaire aux États-Unis. J’ai soutenu ma thèse à Berkeley en 2005, où j’ai par la suite effectué mon post-doctorat. Peu de chercheurs travaillent sur la théorie des représentations au Canada. Mais cela évolue, nous sommes à présent sept chercheurs dans cette branche spécifique des mathématiques à l’université de Toronto.

Adrien Rossille et Hélène Delye : Votre champ d’étude s’inscrit dans la théorie des représentations. Sur quoi portent plus précisément vos recherches actuelles ?

Je m’intéresse aux symétries des objets. Pour vous donner une idée, imaginez qu’on vous donne une balle et qu’on vous demande de trouver tous ses plans de symétrie. Vous verrez tout de suite qu’il y en a une infinité. Mais si on vous donne un objet beaucoup plus complexe, avec plus de trois dimensions, la tâche se complique. Dans mon domaine de recherche, on étudie ces objets, leurs caractéristiques géométriques, leurs symétries, afin d’établir des théories pour les représenter. Plusieurs représentations sont possibles, et mon travail consiste à étudier le lien entre ces représentations.

Adrien Rossille et Hélène Delye : Quelles sont les implications concrètes de vos recherches ? Comment passe-t-on de la géométrie à la réalité physique ?

On peut transposer les idées mathématiques dans le domaine de la physique théorique, et réciproquement. Dans les faits, mathématiciens et physiciens travaillent peu ensemble mais s’inspirent mutuellement des théories de chacun. C’est comme cela que nos recherches avancent, et que les théories mathématiques trouvent des applications concrètes. Par exemple, pour la fabrication des ordinateurs quantiques, l’enjeu est d’isoler des atomes et de les maintenir dans un certain état. Pour ce faire, les physiciens utilisent des théories proches de celles que j’étudie en mathématiques. Dans l’informatique quantique topologique notamment, ils utilisent la théorie des catégories tensorielles.

Adrien Rossille et Hélène Delye : Vos recherches ont un lien avec la physique du futur, elles s’appliquent à des systèmes très complexes. Peut-on cependant les visualiser avec des objets mathématiques plus simples ?

Tout à fait, lorsque j’ai rencontré pour la première fois mon directeur de thèse, Allen Knutson, il s’est appuyé sur des objets mathématiques simples. Par exemple, si vous avez deux droites, une rouge et une blanche, chacune avec un point dessus dans la même couleur, combien y a-t-il de possibilités différentes pour que ces objets interagissent ? De manière intuitive, on imagine un premier cas dans lequel les droites se croisent, mais pas au niveau des points. Elles peuvent aussi se croiser au niveau du point rouge, ou du point blanc, ou des deux, avec les deux points confondus. Et il est aussi possible que les deux droites soient elles-mêmes confondues, avec les points confondus eux aussi, ou non.

On dénombre donc en tout 6 possibilités d’interaction pour ces objets. On peut ensuite imaginer le même problème en trois dimensions, avec deux points, situés sur deux droites, elles-mêmes incluses dans deux plans. On appelle « drapeau » un ensemble constitué d’un point, d’une ligne et d’un plan. Les possibilités d’interaction deviennent alors beaucoup plus nombreuses.

Adrien Rossille et Hélène Delye :  C’est-à-dire, combien y a-t-il de configurations ?

À vous de me le dire !

Adrien Rossille et Hélène Delye :  Intuitivement, je dirais une vingtaine.

Vous y êtes presque ! Les 6 possibilités peuvent être interprétées comme la factorielle de 3. Avec une dimension supplémentaire, le nombre de combinaisons devient égal à la factorielle de 4, soit 24.

Adrien Rossille et Hélène Delye :  Peut-on généraliser cette règle ? Le nombre d’interactions est-il toujours la factorielle de la dimension augmentée de 1 ?

Oui, c’est juste, et cette règle est vraie quelle que soit la dimension considérée. Ce nombre est relié à la factorielle car c’est un dénombrement similaire au nombre de permutations dans un ensemble fini. C’est un exemple de sujet très concret sur lequel je travaille, et que l’on peut facilement dessiner pour les dimensions inférieures ou égales à 3. Pour les dimensions supérieures, même si on ne peut pas fidèlement les dessiner, on peut utiliser les symétries pour les représenter dans nos dimensions usuelles. On appelle l’ensemble de ces représentations les cellules de Schubert, en référence au mathématicien du XIX^e siècle et non au compositeur de musique. Il est l’un des premiers à avoir travaillé sur ces problématiques, par la suite théorisées par Armand Borel, pendant les années 1950.

Adrien Rossille et Hélène Delye : La théorie des représentations est donc quelque chose d’assez récent dans l’histoire des mathématiques ?

Les premiers travaux importants en théorie des représentations ont été effectués par le mathématicien et physicien allemand Hermann Weyl dans les années 1930. Il s’intéressait à la physique théorique et en particulier aux états possibles des particules élémentaires. Ce qui était très simple à définir pour l’électron l’était beaucoup moins pour d’autres types de particules élémentaires, car les symétries étaient plus complexes. Hermann Weyl a alors créé les premiers outils théoriques des représentations afin de classifier toutes ces particules et leurs symétries. Par la suite, vingt ans plus tard, Armand Borel et d’autres mathématiciens ont développé une approche plus géométrique.

Adrien Rossille et Hélène Delye : Parlez-nous de votre expérience depuis bientôt 6 mois à l’IHP dans le cadre de la Chaire Henri Poincaré…

Je profite de ces six mois à l’IHP pour continuer mes recherches dans les meilleures conditions, et aussi pour travailler sur un article que j’avais mis en chantier il y a plusieurs années avec mon collègue Pierre Baumann, de Strasbourg. Ma présence à Paris nous permet de nous rencontrer régulièrement pour travailler ensemble. Être en Europe est aussi l’occasion d’assister à des conférences auxquelles je n’aurais pas pu me rendre autrement et de découvrir d’autres instituts de recherche. Le séminaire Bourbaki qui se tient à l’IHP une fois tous les trois mois m’a fait forte impression. C’est vraiment quelque chose d’unique au monde ! Travailler ici s’est révélé très stimulant, j’ai particulièrement apprécié la richesse du fonds documentaire à la bibliothèque et aussi le climat d’étude dans l’enceinte de ce bâtiment historique. Je garde en mémoire certaines photos de mathématiciens exposées dans les couloirs de l’institut.

Adrien Rossille et Hélène Delye : Ces photos de Vincent Moncorgé sont issues d’une exposition rassemblant des portraits de mathématiciens au travail. Pourquoi est-ce que vous aimez tant ces photographies ?

[rires] Parce qu’on voit qu’ils pensent beaucoup, et qu’il y a aussi une dose de déception qui transparaît parfois sur leurs visages. !

Adrien Rossille et Hélène Delye : Parce que les mathématiques peuvent aussi être source de déception ?

Pas toujours, mais de temps en temps, oui ! On essaie des choses, et ça rate… Il y a des succès et des échecs, c’est comme ça. Je trouve que dans ces photos, on peut percevoir cela, cette difficulté qui existe bel et bien dans tout travail de recherche. Il y a aussi cette photo en particulier, que j’aime beaucoup, où l’on voit un mathématicien devant un immense tableau noir vide. Le mathématicien est minuscule par rapport au gigantisme du tableau noir. On l’imagine, comme les écrivains, confronté à l’angoisse de la page blanche. Pour les mathématiciens, on devrait parler de l’angoisse du tableau noir.