Défi de la semaine
Dans la suite 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, …, quel est le nombre se trouvant en position 2023?
Solution du 5e défi de juin 2023
Remarquons que \(35=7\times 5\times 1\). Comme \(5\) ne divise pas \(56\), dans le sommet en commun à \(35\) et \(56\), il faut mettre \(1\) ou \(7\). Si l’on y met \(1\), on aurait alors besoin de deux \(7\) : un pour compléter le triangle dont les sommets ont pour produit \(35\), et l’autre pour compléter celui dont le produit donne \(56\). Finalement, on met le \(7\) entre \(35\) et \(56\). On place alors \(5\) entre \(35\), \(70\) et \(15\), et \(1\) dans le sommet restant pour obtenir \(35\). Les autres nombres se placent ensuite un par un pour obtenir les produits souhaités. On aboutit à :
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
10h10
On répartit les éléments de la suite en paquets de telle sorte que le paquet 1 soit 1,2 avec 2 éléments ; le paquet 2 soit 1,2,3,2 avec 4 éléments, … le paquet n soit 1,2,…,n,n+1,n, …,2 avec 2n éléments.
Le dernier élément du paquet n est don en position 2(1+2+…+n)=n(n+1).
Comme 1980=44*45<2023<45*46=2070 l’élément en position 2023 est dans le paquet 45 qui commence en position 1981. Or 2023 -1980 = 43 < 46 l’élément en position 2023 est 43.
12h35
En écrivant la suite en spirale sur un quadrillage on voit que pour tout \(n>1\), la deuxième occurence de \(2n+1\) apparaît en position \((2n+1)^2\), précédée des nombres \(1\) à \(2n\). Comme \(2023 = 45^2 – 2\), en position \(2023\) on a \(45 – 2 = 43\).
16h21
Vous êtes notre nouveau Daniate 👍👍👍
16h20
Le terme de rang \(\:n^2 + 1 -p\:\), où \(n\) et \(p\) sont des entiers naturels tels que \(p \leq n\), a pour valeur \(\:n + 1 – p\:\). Or \(\:2023=45^2 + 1 – 3\:\) donc le \(2023^\text{ème}\) terme est égal à \(45 + 1 – 3=43\)
23h21
Si l’on examine le chiffre 1, on voit qu’il apparaît aux rangs :
1,3,7,13,21,31,43…
On a donc une suite arithmétique de 1° terme U0=1 et de raison 2n.
La forme générale est
Un= U(n-1)+2n soit (après quelques manipulations)
Un=1+n(n+1)
Pour n= 45. Un=1981
Donc le chiffre 1 apparaît au 45° rang de cette suite
Et il apparaîtra de nouveau pour n=46 soit Un= 2071
Entre les 2 rangs il y a donc 90 entiers de 1 à 90
à la valeur 2023, apparaît le 43° entier