Défi de la semaine
Deux nageuses, placées chacune d’un côté du bassin d’une piscine, démarrent en même temps. La première traverse le bassin en \(45\) secondes, la deuxième en \(30\) secondes. Elles font ainsi des allers-retours durant \(12\) minutes sans s’arrêter. Combien de fois vont-elles se croiser (ou se doubler) durant tout ce temps ?
Solution du 1er défi de juillet 2023
Remarquons que cette suite de nombres est une succession de « cycles » de plus en plus grands : le premier cycle est la suite \(1,2\) ; le second, la suite \(1,2,3,2\) ; le troisième, la suite \(1,2,3,4,3,2\) ; etc. Il est facile de voir que le
\(i\)-me cycle contient \(2i\) nombres. Ainsi, d’après la formule de Gauss, \(n\) cycles regroupent
\[2+4+6+\cdots+2n = 2\times(1+2+\cdots+n) = n(n+1)\].
Avec \(n=44\), on obtient \(1980\) nombres. Puis, comme le \(45^{\text{e}}\) cycle commence en position \(1981\) et comme \(2023 – 1980 = 43\)
le nombre se trouvant en position \(2023\) est \(43\).
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
Crédits images
©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
7h17
Bonjour
Soit A et B les deux positions initiales des filles F1 et F2.
Pendant les 90 premières secondes, F1 fait le trajet A-B-A.
Pendant ce temps, F2 fait le trajet B-A où elle croise F1, puis A-B où elle croise F1 et enfin B-A où elle rattrape F1(donc la double) en A.
Pendant les 90 secondes suivantes, F1 fait le trajet A-B-A.
Pendant ce temps, F2 fait le trajet A-B en distançant F1, puis le trajet B-A où elle croise F1, puis A-B où elle croise F1.
Bilan en 3 minutes, F2 croisent 4 fois F1 et la double une fois et on retrouve la position initiale.
En 12 minutes, les nageuses sont se croiser 16 fois et F2 doublera 4 fois F1.
Cordialement
0h30
Soient \(L\) la longueur du bassin, \(O\) l’un de ses bords, et \(P\) et \(Q\) deux points de rencontres consécutives. Entre ces deux rencontres les distances parcourues sont \(PO\) puis \(OQ\) pour l’une, et \(L – PO\) puis \(L – OQ\) pour l’autre, soit au total \(PO + OQ + L – PO + L – OQ = 2L\).
Mais pendant les \(T\) secondes entre deux rencontres, les distances parcourues sont aussi \(\frac{TL}{45}\) pour l’une, et \(\frac{TL}{30}\) pour l’autre.
Donc \(\frac{TL}{45} + \frac{TL}{30} = 2L\), ce qui donne \(T = \frac{2 \times 30 \times 45}{45 + 30} = 36\) secondes.
Ainsi le nombre de rencontres en \(12\) minutes est \(\frac{12 \times 60}{36} = 20\)