Défi de la semaine
Déterminer le nombre de paires \((a,b)\) d’entiers strictement positifs tels que l’équation \(x^3-10x^2+ax-b=0\) d’inconnue \(x\) possède trois solutions entières strictement positives.
Post-scriptum
Le calendrier est publié aux Presses Universitaires de Grenoble, sous la direction scientifique de Romain Joly.
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©JROBALLO / Adobestock
ÉCRIT PAR
Romain Joly
Maître de conférences - Institut Fourier de Grenoble
11h30
Bonjour
Si on appelle n, m et p les trois solutions entières,
une factorisation du polynôme est
(x-n)(x-m)(x-p)
et un développement est
x^3 – (n+m+p)x^2 +(nm + np + mp)x – nmp.
Par identification des coefficients, il faut avoir
n+m+p = 10
et on a a =nm + np + mp
et b = nmp
On peut avoir 0 < n ≤ m ≤ p. Le tableau ci-après donne tous les cas. 0 < n ≤ m ≤ p avec n + m + p = 10 Cordialement
12h03
n m p a b
1 1 8 17 8
1 2 7 23 14
1 3 6 27 18
2 2 6 28 24
1 4 5 29 20
2 3 5 31 30
2 4 4 32 33
3 3 4 33 36
18h42
Voici comment trouver combien il y a de paires (a,b) sans faire trop de calculs, vive la farniente estivale ! (a,b)
On factorise le polynôme (x-m)(x-n)(x-p)=0 avec ses trois racines entières 0
(1,2) ; (8,9) —> (8,17)
(2,3) ; (7,8) ; (14,9) —> (14,23)
(3,4) ; (6,7) ; (18,9) —> (18,27)
(4,5) ; (5,6) ; (20,9) —> (20,29)
(4,4) ; (12,8) —> (24,28)
(6,5) ; (10,7) ; (15,8) —> (30,31)
(8,6) ; (16,8) —> (32,32)
(9,6) ; (12,7) —> (36,33)